Установить, на какие линии плоскости w отображаются с функции w = 1 / z следующие линии плоскости z:

Для решения данной задачи, чтобы найти линии плоскости w, на которые отображаются линии плоскости z с помощью функции w = 1/z, мы должны применить данную функцию к каждой линии плоскости z и найти соответствующие линии плоскости w.

Давайте рассмотрим каждую линию плоскости z отдельно.

1) Прямая линия:

На исходной плоскости z прямая линия представляет собой множество точек, которые можно описать уравнением z = x + yi, где x и y - действительные числа.

Теперь применим функцию w = 1/z:
w = 1/(x + yi)
Для вычисления этого выражения, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число z*, чтобы избавиться от мнимого знаменателя:
w = (1/(x + yi)) * (z*/z*)
w = z* / (|z|^2), где |z| - модуль числа z.

Таким образом, функция w = 1/z превращает прямую линию на плоскости z в окружность в плоскости w.

2) Вертикальная прямая:

Вертикальная прямая на плоскости z может быть представлена уравнением x = a, где a - действительное число.

Применяя функцию w = 1/z:
w = 1/(a + yi)
Мы можем снова умножить числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число z*, чтобы избавиться от мнимого знаменателя. Получим:
w = (1/(a + yi)) * (z*/z*)
w = z* / (a^2 + y^2)

Функция w = 1/z превращает вертикальную прямую на плоскости z в гиперболу в плоскости w, которая открыта вдоль оси y.

3) Горизонтальная прямая:

Горизонтальная прямая на плоскости z может быть представлена уравнением y = b, где b - действительное число.

Применяя функцию w = 1/z:
w = 1/(x + bi)
Аналогично предыдущему примеру, умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число z*:
w = (1/(x + bi)) * (z*/z*)
w = z* / (x^2 + b^2)

Функция w = 1/z превращает горизонтальную прямую на плоскости z в гиперболу в плоскости w, которая открыта вдоль оси x.

Таким образом, функция w = 1/z отображает прямые линии на плоскости z в окружности, гиперболы или точки в плоскости w, в зависимости от исходной прямой линии.

Надеюсь, это ясно объясняет, как функция w = 1/z отображает линии плоскости z на линии плоскости w. Если у вас есть вопросы или что-то неясно, пожалуйста, сообщите мне, и я с радостью помогу!