во первых a>0 (2) Далее уравнение (1) "распадается" на два (3) (4) При этом должно быть выполнено (2)
Рассмотрим уравнение (3). Если (обозначим 1+a=с) Получим (5) (5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
(6)
Аналогично из уравнения 4 получаем: a<5 (7) Это еще два корня Итого 4 корня
Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0<a<5 или a∈(0; 5) ответ a∈(0;5)
Уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если Решение: Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости. у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох. Уравнение y=a является прямой параллельной оси Ох. Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо , чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a. Найдем координаты вершины параболы. Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2 Подставим это значение в уравнение параболы y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5 Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| равен y=|-5| =5 Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5) ответ:(0;5)
во первых a>0 (2)
Далее уравнение (1) "распадается" на два
При этом должно быть выполнено (2)
Рассмотрим уравнение (3).
(5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
Аналогично из уравнения 4 получаем:
a<5 (7)
Это еще два корня
Итого 4 корня
Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0<a<5 или a∈(0; 5)
ответ a∈(0;5)
Решение:
Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости.
у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх
D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках
Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох.
Уравнение y=a является прямой параллельной оси Ох.
Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо
, чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a.
Найдем координаты вершины параболы.
Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2
Подставим это значение в уравнение параболы
y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5
Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| равен y=|-5| =5
Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5)
ответ:(0;5)