Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4 (4 – х ) + log4x = 1

Хорошо, давайте разберемся с этим уравнением.

Дано уравнение: log4(4 – х) + log4x = 1

Первым шагом нам нужно объединить логарифмы с соответствующими основаниями. По свойствам логарифмов мы знаем, что сумма логарифмов с одним и тем же основанием равна логарифму произведения значений, на которые эти логарифмы были применены.

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

log4((4 – х) * x) = 1

Затем мы можем применить свойство логарифма, согласно которому логарифм с основанием a от числа b равен c, если и только если a в степени c равно b.

Применяя это свойство к нашему уравнению, получаем:

(4 – х) * x = 4^1

Упростим правую часть:

(4 – х) * x = 4

Раскроем скобки:

4x – x^2 = 4

Получаем квадратное уравнение. Перенесем все в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду:

x^2 – 4x + 4 = 0

Теперь нам нужно решить это уравнение. Мы можем попробовать факторизацию:

(x – 2)(x – 2) = 0

Очевидно, что единственное решение этого уравнения равно x = 2.

После того, как мы нашли решение, мы можем проверить его, подставив его в исходное уравнение:

log4(4 – 2) + log42 = 1

log4(2) + log42 = 1

(1/2) + 2 = 1

1 = 1

Результат верный, поэтому решение x = 2 подходит.

Теперь вернемся к исходному вопросу и определим промежуток, к которому принадлежит корень уравнения.

Поскольку переменная x находится под логарифмом, она должна быть положительным числом. Поэтому при x = 2 значение обоих логарифмов будет положительным.

Таким образом, корень уравнения log4(4 – х) + log4x = 1 принадлежит промежутку (0, ∞).

Это означает, что любое положительное число больше 0 может быть решением этого уравнения.