Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
(4^1/2-x)^2=1/8

Давай разберем этот вопрос пошагово.

У нас есть уравнение: (4^(1/2) - x)^2 = 1/8.

1. Давайте сначала упростим выражение внутри скобок: 4^(1/2) = √4 = 2, так как корень из 4 равен 2. Заменяем это значение в уравнении: (2 - x)^2 = 1/8.

2. Теперь раскроем квадрат скобок, возведя (2 - x) в квадрат. Это значит, что мы будем умножать (2 - x) на себя: (2 - x) * (2 - x) = 1/8.

3. Раскрываем скобки: (2 - x) * (2 - x) = 4 - 2x - 2x + x^2 = 1/8.

4. Упростим это уравнение: 4 - 4x + x^2 = 1/8.

5. Теперь приведем уравнение к общему виду, приравняв его к нулю: x^2 - 4x + 4 - 1/8 = 0.

6. Чтобы найти корень данного уравнения, мы можем воспользоваться формулой квадратного трехчлена: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае, a = 1, b = -4 и c = 4 - 1/8.

7. Подставляем значения в формулу и решаем:
x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 * 1 * (4 - 1/8))) / (2 * 1).
= (4 ± √(16 - 4 * 1 * (4 - 1/8))) / 2.
= (4 ± √(16 - 4 * 4 + 4/8)) / 2.
= (4 ± √(16 - 16 + 2)) / 2.
= (4 ± √2) / 2.

Таким образом, мы получили два возможных значения корня: x1 = (4 + √2) / 2 и x2 = (4 - √2) / 2.

Теперь проверим, в каком промежутке находятся эти корни. Для этого возьмем любую точку в каждом из трех возможных промежутков и подставим их в уравнение, чтобы определить знак выражения.

Пусть мы возьмем точку a = 0. Подставляем ее в уравнение:
(2 - 0)^2 = 1/8,
4 = 1/8,
4 > 1/8.

Это означает, что точка, где x = 0, не удовлетворяет уравнению. Итак, мы можем исключить промежуток (-∞, 0).

Теперь возьмем точку b = (4 + √2) / 2 и подставим ее в уравнение:
(2 - (4 + √2) / 2)^2 = 1/8,
(-2 + √2) / 2)^2 = 1/8,
(-2 + √2) / 2)^2 > 1/8.

Мы видим, что выражение становится больше 1/8. Итак, мы можем исключить промежуток ((4 + √2) / 2, +∞).

Теперь возьмем точку c = (4 - √2) / 2 и подставим ее в уравнение:
(2 - (4 - √2) / 2)^2 = 1/8,
(-2 - √2) / 2)^2 = 1/8,
(-2 - √2) / 2)^2 < 1/8.

Мы видим, что выражение становится меньше 1/8. Итак, мы можем исключить промежуток (0, (4 - √2) / 2).

Таким образом, промежуток, в котором находится корень уравнения (4^(1/2) - x)^2 = 1/8, это (4 - √2) / 2, (4 + √2) / 2.