У выражение
Sin4a-sin6a+cos2a+cos4a-cos6a​

Для того чтобы решить это выражение, нам понадобится знание основных тригонометрических соотношений и формул.

Давайте разберем каждое слагаемое по отдельности и посмотрим, как их можно упростить.

1. Sin4a. Для начала, мы знаем так называемую формулу двойного угла для синуса. Она выглядит так: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). В нашем случае, мы можем применить эту формулу к sin(4a). Получим: sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a).

2. Sin6a. Аналогично для sin(6a) можно использовать формулу двойного угла. Получим: sin(6a) = 2sin(3a)cos(3a).

3. Cos2a. Здесь нам понадобится формула половинного угла для косинуса. Она выглядит так: cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ). Применим эту формулу к cos(2a). Получим: cos(2a) = cos²(a) - sin²(a).

4. Cos4a. Снова используем формулу половинного угла. Получим: cos(4a) = cos²(2a) - sin²(2a).

5. Cos6a. И снова формула половинного угла: cos(6a) = cos²(3a) - sin²(3a).

Теперь, когда мы заменили все слагаемые в выражении на соответствующие формулы, давайте объединим их и упростим дальше:

Sin4a - sin6a + cos2a + cos4a - cos6a =
= 2sin(2a)cos(2a) - 2sin(3a)cos(3a) + (cos²(a) - sin²(a)) + (cos²(2a) - sin²(2a)) - (cos²(3a) - sin²(3a)).

Теперь давайте разберемся с каждым слагаемым отдельно и упростим выражение.

1. 2sin(2a)cos(2a) упрощается до sin(4a). Это было получено ранее.

2. -2sin(3a)cos(3a). Здесь нам может пригодиться формула суммы углов для синуса: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β). Применим эту формулу для 3a и упростим: -2sin(3a)cos(3a) = sin(3a - 3a) = sin(0) = 0.

3. (cos²(a) - sin²(a)). Здесь можем использовать формулу потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(a) - sin²(a)) = 1 - sin²(a) - sin²(a) = 1 - 2sin²(a).

4. (cos²(2a) - sin²(2a)). Воспользуемся той же формулой потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(2a) - sin²(2a)) = 1 - sin²(2a) - sin²(2a) = 1 - 2sin²(2a).

5. (cos²(3a) - sin²(3a)). Снова формула потребности для косинуса: cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Получим: (cos²(3a) - sin²(3a)) = 1 - sin²(3a) - sin²(3a) = 1 - 2sin²(3a).

Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:

Sin4a - sin6a + cos2a + cos4a - cos6a =
= sin(4a)+ 0 + (1 - 2sin²(a)) + (1 - 2sin²(2a)) - (1 - 2sin²(3a)).

Мы получили итоговое выражение, которое можно упростить дальше, если есть какие-то дополнительные условия или требования к решению задачи.