ТЕСТ по теме: «КРУГЛЫЕ ТЕЛА»
Задачи (Чертеж + решение) записываете в тетради
№1. Площадь большого круга шара составляет 16π см². Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками этого шара?
А) 4 см;
Б) 16 см;
В) 8 см.
№2. Найдите центр сферы А(x, y, z) и её радиус R, если уравнение сферы имеет вид
x²+(y– 3)²+(z+1)²=36.
А) А(0; -3; 1), R=36;
Б) А(0; 3; -1), R=6
В) А(0; -3; 1), R=6.
№3. Сколько касательных можно провести через данную точку шаровой поверхности?
А) одну;
Б) бесконечно много;
В) ни одной.
№4. Осевое сечение усечённого конуса является …
А) равнобедренным треугольником;
Б) прямоугольником;
В) равнобокой трапецией.
№5. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 3:5. Как относятся площади оснований этого конуса?
А) 9:25;
Б) 5:3;
В) 25:9.
№6. Как называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра, перпендикулярно осевому сечению?
А) секущая;
Б) касательная;
В)образующая.
№7. Высота конуса составляет ¾ от радиуса R его основания. Чему равна длина образующей этого конуса?
А) ;
Б) ;
В) .
№8. Площадь основания цилиндра равна 49π см, а высота 10 см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.
А) см;
Б) 17 см;
В) см.
Перейдем к первому вопросу:
№1. Площадь большого круга шара составляет 16π см². Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками этого шара?
А) 4 см;
Б) 16 см;
В) 8 см.
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать формулу для вычисления площади круга. Площадь круга равна π * r², где r - радиус круга. В данной задаче нам известно, что площадь большого круга шара равна 16π см². Зная формулу для площади круга, мы можем записать уравнение:
π * r² = 16π.
Сокращая π на обеих сторонах уравнения, получаем:
r² = 16.
Теперь нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
r = √(16).
r = 4.
Таким образом, радиус большого круга шара равен 4 см.
Чтобы найти расстояние между диаметрально противоположными точками шара, нам нужно удвоить радиус:
2 * r = 2 * 4 = 8.
Ответ: В) 8 см.
Перейдем ко второму вопросу:
№2. Найдите центр сферы А(x, y, z) и ее радиус R, если уравнение сферы имеет вид x²+(y– 3)²+(z+1)²=36.
А) А(0; -3; 1), R=36;
Б) А(0; 3; -1), R=6;
В) А(0; -3; 1), R=6.
Для решения этой задачи нам нужно привести уравнение сферы к каноническому виду, где (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r². В данном уравнении у нас уже есть и x², и (y - b)², и (z - c)², так что нам нужно найти константы a, b и c.
В исходном уравнении видно, что (x - 0)² = x², а (y - 3)² = (y - b)², а (z + 1)² = (z - c)². Значит, мы уже знаем, что a = 0 и c = 1.
Теперь найдем значение b. Для этого сравним члены с "y" в исходном уравнении и в каноническом виде:
(y - 3)² = (y - b)².
Раскрываем скобки:
y² - 6y + 9 = y² - 2by + b².
Теперь сравниваем коэффициенты перед "y" в обоих выражениях:
-6 = -2b,
откуда b = 3.
Таким образом, центр сферы А(x, y, z) имеет координаты А(0, 3, 1), а радиус сферы R = 6.
Ответ: В) А(0; -3; 1), R=6.
Продолжим со следующим вопросом:
№3. Сколько касательных можно провести через данную точку шаровой поверхности?
А) одну;
Б) бесконечно много;
В) ни одной.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, что касательная - это прямая, которая касается поверхности шара в данной точке. Зная это, ответ становится очевидным.
Ответ: Б) бесконечно много.
Продолжим с четвертым вопросом:
№4. Осевое сечение усеченного конуса является …
А) равнобедренным треугольником;
Б) прямоугольником;
В) равнобокой трапецией.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать определения данных фигур. Осевое сечение - это сечение, параллельное оси симметрии фигуры.
Ответ: В) равнобокой трапецией.
Перейдем к пятому вопросу:
№5. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 3:5. Как относятся площади оснований этого конуса?
А) 9:25;
Б) 5:3;
В) 25:9.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как связаны площади оснований усеченного конуса и соотношение их радиусов.
Формула для площади основания конуса: S = π * r², где r - радиус основания.
Известно, что радиусы оснований относятся как 3:5. Давайте обозначим радиусы оснований как r₁ и r₂. Тогда можно записать уравнение:
r₁ : r₂ = 3 : 5.
Заменим радиусы на их значения:
r₁/(r₁ + 2) : r₂/(r₂ + 2) = 3/5.
Теперь найдем площади оснований S₁ и S₂:
S₁ = π * r₁²,
S₂ = π * r₂².
Используя соотношение между радиусами, можем записать:
S₁/S₂ = (π * r₁²) / (π * r₂²) = (r₁²) / (r₂²).
Теперь подставим вместо r₁ и r₂ их значения:
(3 / (3 + 2))² / (5 / (5 + 2))² = (3/5)² = 9/25.
Ответ: А) 9:25.
Перейдем к шестому вопросу:
№6. Как называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра, перпендикулярно осевому сечению?
А) секущая;
Б) касательная;
В) образующая.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать определения данных терминов. Образующая - это прямая, которая параллельна оси симметрии фигуры. Осевое сечение - сечение, параллельное оси симметрии фигуры.
Ответ: А) секущая.
Продолжим с седьмым вопросом:
№7. Высота конуса составляет ¾ от радиуса R его основания. Чему равна длина образующей этого конуса?
А) √(R² + (¾R)²);
Б) √(R² - (¾R)²);
В) √((¾R)² - R²).
Для решения этой задачи нам нужно знать зависимость между высотой конуса, радиусом его основания и образующей.
Из условия задачи видно, что высота конуса составляет ¾ от радиуса R его основания. Мы знаем, что высота образует прямой угол с основанием конуса.
Теперь применим теорему Пифагора для нахождения длины образующей. Теорема Пифагора гласит: c² = a² + b², где c - гипотенуза, а и b - катеты.
В нашем случае образующая является гипотенузой, а высота и радиус основания - катетами.
Теперь подставим в формулу значения:
√(R² + (¾R)²).
Ответ: А) √(R² + (¾R)²).
Перейдем к восьмому и последнему вопросу:
№8. Площадь основания цилиндра равна 49π см, а высота 10 см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.
А) см;
Б) 17 см;
В) см.
Для решения этой задачи нам нужно знать формулу для площади основания цилиндра и формулу для нахождения диагонали осевого сечения.
Формула для площади основания цилиндра: S = π * r², где r - радиус основания.
Теперь найдем радиус основания цилиндра. Для этого решим уравнение:
π * r² = 49π.
Сокращая π на обеих сторонах уравнения, получаем:
r² = 49.
Извлекаем квадратный корень:
r = √49 = 7.
Теперь найдем диагональ осевого сечения. Для этого воспользуемся следующей формулой:
d = √(2 * r² + h²), где d - диагональ осевого сечения, r - радиус основания, h - высота цилиндра.
Подставим значения:
d = √(2 * 7² + 10²) = √(2 * 49 + 100) = √(98 + 100) = √198.
Ответ: В) √198 см.
Это все вопросы теста. Надеюсь, вы все смогли правильно решить эти задания! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, спрашивайте. Я всегда готов помочь!