Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 111 больше их произведения.найдите эти числа.

10*10=100,11*11=121,100+121=221-111=110,10*11=110

Для решения данной задачи будем использовать алгебраический подход.

Пусть первое натуральное число будет равно Х. Тогда второе натуральное число будет равно Х + 1, так как они являются последовательными числами.

Сумма квадратов этих чисел задается следующим выражением: Х^2 + (Х + 1)^2, где Х^2 обозначает квадрат первого числа, а (Х + 1)^2 - квадрат второго числа.

Произведение этих чисел задается выражением: Х * (Х + 1), где Х обозначает первое число, а (Х + 1) - второе число.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих чисел на 111 больше их произведения. То есть, Х^2 + (Х + 1)^2 = Х * (Х + 1) + 111.

Решим полученное уравнение:

Х^2 + Х^2 + 2Х + 1 = Х^2 + Х + 111.

Сократим одинаковые слагаемые на обеих сторонах уравнения:

2Х^2 + 2Х + 1 = Х^2 + Х + 111.

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

2Х^2 + 2Х + 1 - Х^2 - Х - 111 = 0.

Упростим уравнение:

Х^2 + Х - 110 = 0.

Уравнение является квадратным трехчленом и может быть решено с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант D равен: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты при соответствующих степенях Х.

В нашем уравнении a = 1, b = 1, c = -110.

Вычислим дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 1 * -110 = 1 + 440 = 441.

Значение дискриминанта равно 441.

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
Х = (-b +- sqrt(D)) / (2a).

Подставим значения в формулу:

Х1 = (-1 + sqrt(441)) / (2 * 1) = (-1 + 21) / 2 = 20 / 2 = 10.

Х2 = (-1 - sqrt(441)) / (2 * 1) = (-1 - 21) / 2 = -22 / 2 = -11.

Так как в задаче исключены отрицательные числа, полученный отрицательный корень не подходит. Поэтому первое натуральное число равно 10, а второе натуральное число будет равно 10 + 1 = 11.

Итак, два последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых на 111 больше их произведения, равны 10 и 11.