Среднее арифметическое корней уравнения cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х), принадлежащему отрезку [-π; 2π],

 Решим задачу пошагово:

cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х)

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -cos²(π/2-2х)

cos²(π/2-2х) = (По формуле приведения).

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -

cos²2x - 1 = (cos2x - 1)(cos2x + 1).

(cos2x - 1) = 1 - 2 - 1 = - 2.

(cos2x + 1) = 2 - 1 + 1 = 2.

(cos2x - 1)(cos2x + 1) = - = - =-  = -.

После подстановки найденных тождеств, получим:

cos(х-π/3) - = -.

cos(х-π/3) -   +  = 0.

cos(х-π/3) = 0.

cos(х-π/3) = cos(π/2 + πn), где n принадлежит Z.

х-π/3 = π/2 + πn, где n принадлежит Z.

x = π/2 + πn + π/3, где n принадлежит Z.

x = 5π/6 + πn, где n принадлежит Z.

Найдём корни, принадлежащие отрезку [-π;2π], для этого составим следующее двойное неравенство:

-π >= 5π/6 + πn <= 2π, знаки >= и <= - это соответственно больше или равно и меньше или равно.

 -π - 5π/6 >=  πn <= 2π - 5π/6

 - 11π/6 >= πn <= 7π/6

- 11/6 >= n <= 7/6

- 1 >= n <= 1.

Теперь находим корни.

При n = -1, x = - 4π/6.

При n = 1, x = 11π/6.

При n = 0, x = 5π/6.

Найдём их среднее арифметическое:

(- 4π/6 + 11π/6 + 5π/6)/3 = 2π/3.

ответ: 2π/3