Сократить дробь: (/-знак дроби) 3a-2√6ab+2b/√27a^3-√8b^3

В знаменателе разность кубов. Раскладывается так
(?3а-?2в)(3а^2+?6ав+2в^2)
В числителе записан квадрат разности (?3а-?2в)^2.
Дробь можно сократить на одну скобку (?3а-?2в).

Хорошо, давай разберемся с этой задачей.

Для начала, нам нужно упростить дробь с помощью основного математического свойства, известного как "рационализация". Рационализация применяется, когда в знаменателе есть квадратный корень.

Первым шагом рационализации будет умножение числителя и знаменателя на сопряженное значение того, что находится под корнем в знаменателе.
В нашем случае (квадрат корня √27a^3-√8b^3) у нас есть два корня - √27a^3 и √8b^3.

Для каждого корня мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение этого корня. То есть, числитель и знаменатель умножим на √27a^3+√8b^3 и √27a^3-√8b^3 соответственно.

После умножения числителя и знаменателя на √27a^3+√8b^3 мы получим:

(3a-2√6ab+2b) * (√27a^3+√8b^3)

Аналогично, после умножения числителя и знаменателя на √27a^3-√8b^3 мы получим:

(3a-2√6ab+2b) * (√27a^3-√8b^3)

Теперь давайте упростим числитель и знаменатель.

В числителе используем формулу разности квадратов для двух последних слагаемых √6ab и 2b:

(3a - 2√6ab + 2b) * (√27a^3 + √8b^3) = 3a√27a^3 + 3a√8b^3 - 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 + 2b√8b^3

В знаменателе у нас также возникает разность квадратов суммы двух корней.

(3a - 2√6ab + 2b) * (√27a^3 - √8b^3) = 3a√27a^3 - 3a√8b^3 + 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 - 2b√8b^3

Теперь мы можем увидеть, что в числителе и знаменателе появляются одинаковые слагаемые. Подчеркнем их:

3a√27a^3 + 3a√8b^3 - 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 + 2b√8b^3
3a√27a^3 - 3a√8b^3 + 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 - 2b√8b^3

Теперь избавимся от этих одинаковых слагаемых, скомбинировав их вместе:

(3a√27a^3 - 3a√8b^3 + 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 - 2b√8b^3) / (27a^3 - 8b^3)

Обратите внимание, что мы использовали выражение (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, чтобы упростить разность квадратов суммы двух корней.

Дальше нам нужно убедиться, что в числителе нет корней, которые можно упростить. В данном случае это не так, поэтому мы оставляем корни в числителе без изменений.

Наш окончательный ответ будет иметь вид:

(3a√27a^3 - 3a√8b^3 + 2√6ab√27a^3 - 2√6ab√8b^3 + 2b√27a^3 - 2b√8b^3) / (27a^3 - 8b^3)

Получается, что дробь не может быть дальше сокращенной, так как в ней больше нет общих множителей.