Сколько критических точек имеет функция f(x)= 1/2 x^4 -x^2

Для того чтобы найти критические точки функции f(x), нужно сначала найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Критические точки будут являться решениями этого уравнения.

Давайте найдем производную функции f(x). Для этого мы будем использовать правило дифференцирования степеней, а именно, мы будем умножать степень на коэффициент и уменьшать степень на 1. Таким образом, производная функции f(x) будет выглядеть так:

f'(x) = 4*(1/2)*x^(4-1) - 2*1*x^(2-1)

Упрощая это выражение, получаем:

f'(x) = 2*x^3 - 2*x

Теперь нам нужно приравнять производную f'(x) к нулю и решить это уравнение. Если мы найдем значения x, при которых f'(x) = 0, то мы найдем критические точки функции f(x).

2*x^3 - 2*x = 0

Факторизуем это уравнение, вынося общий множитель, который является 2*x:

2*x*(x^2 - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые дают нам два возможных решения:

1) 2*x = 0 - это равенство выполняется, когда x = 0
2) x^2 - 1 = 0 - это равенство можно решить, выделив квадрат, получим (x-1)*(x+1) = 0. Значит, x = 1 или x = -1.

Итак, мы получили три возможных значения x, при которых производная f'(x) равна нулю и, следовательно, критические точки функции f(x): x = 0, x = 1 и x = -1.

Проверим значения функции f(x) в этих точках, чтобы убедиться, являются ли они точками экстремума. Для этого нам понадобятся вторые производные.

Для нахождения второй производной, мы снова продифференцируем функцию f'(x). Используя те же правила дифференцирования, получим:

f''(x) = 6*x^2 - 2

Теперь вычислим значения второй производной f''(x) в найденных критических точках:

1) f''(0) = 6*(0^2) - 2 = -2
2) f''(1) = 6*(1^2) - 2 = 4
3) f''(-1) = 6*(-1^2) - 2 = 4

Теперь посмотрим, что означают полученные значения второй производной:
- Если f''(x) > 0, то это означает, что функция выпукла вверх в данной точке, и это может быть точка минимума.
- Если f''(x) < 0, то это означает, что функция выпукла вниз в данной точке, и это может быть точка максимума.
- Если f''(x) = 0, то это означает, что в данной точке может быть точка перегиба функции.

Теперь применим полученные результаты к нашей функции f(x):

1) f''(0) = -2, значит, функция f(x) выпукла вниз в точке x = 0, и это может быть точкой максимума.
2) f''(1) = 4, значит, функция f(x) выпукла вверх в точке x = 1, и это может быть точкой минимума.
3) f''(-1) = 4, значит, функция f(x) выпукла вверх в точке x = -1, и это может быть точкой минимума.

Итак, мы получили три критические точки:
- Точка x = 0 может быть точкой максимума.
- Точка x = 1 может быть точкой минимума.
- Точка x = -1 может быть точкой минимума.

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация позволит вам понять процесс нахождения критических точек функции f(x) и их возможные значения. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!