Сколько корней уравнения sinx+cosx=√2 принадлежит отрезку [-п; 2п]

Ответы

Urtaol20 06.10.2020 08:09

Область допустимых решений уравнения:
$sinx+cosx\ \textgreater \ 0$ ;
Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0).
$sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2;
 sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x;$
Тогда
$sin2x=1; 2x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$ , n∈Z;
Решение в общем виде:
$x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n$ , n∈Z;
На промежутке $[- \pi ; 2 \pi ]$ :
$x_{1}=- \frac{3}{4} \pi , x_{2}= \frac{ \pi }{4}, x_{3}= \frac{5}{4} \pi .$
Однако при
$x_{1}= -\frac{3}{4} \pi, x_{3}= \frac{5}{4} \pi , sinx+cosx\ \textless \ 0;$
Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0;
Поэтому решение единственное
$x= \frac{ \pi }{4}.$