Сколько целочисленный решений имеет неравенство x в 4ой степени больше 9x

Ответы

Inna050798 17.06.2020 12:56

x^4>9x x(x^3-9)>0

x>0

x^3>9 реешние все целые числа большие 2

x<0

x^3<9 решением является все отрицательные целые числа

очевидно в вопросе ошибка по идее меньше 9х

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

vitalikpalamarc 17.06.2020 12:56

x^4-9*x0

x*(x^3-9)0

Раскладываем вторую скобку по формуле разности кубов

$x*(x-9^{\frac{1}{3}})*(x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}})0$

Заметим, что неполный квадрат в третьей скобке всегда положителен

Докажем это

$x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}}=0,25*x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}}+0,75*x^2=$

$=0,25*x^2+2*9^{\frac{1}{3}}*0,5*x+9^{\frac{2}{3}}+0,75*x^2=$

$=(0,5*x+9^{\frac{1}{3}})^2+0,75*x^2\geqslant 0$

Так как квадраты не могут быть отрицательными.

Значит можно рассмотреть неравенство методом интервалов.

1) При х<0 первый множитель будет меньше нуля, второй тоже меньше нуля. Два множителя меньше нуля дадут положительное число. А третий будет положительным. Значит все выражение в левой части будет положительным.

2) При $x\in(0;9^{\frac{1}{3}})$ Первый множитель будет больше нуля, второй меньше нуля, а третий как всегда положителен. Отрицательный множитель помноженный на положительные множители даст в итоге отрицательное число.

3) $x9^{\frac{1}{3}}$

Первый множитель будет положителен, второй тоже положителен. А третий как всегда положителен. Значит в итоге, перемножив три положительных числа, получим положительное число.

В ответе получим два промежутка из первого и третьего случаев.

$x\in(-\infty;0)\cup(9^{\frac{1}{3}};\infty)$