Скільки розв'язків в залежності від параметра а має система рівнянь ? 4x+ay=16-a; ax+16y=16

Чтобы определить, сколько решений имеет данная система уравнений в зависимости от параметра а, нам необходимо рассмотреть все возможные случаи.

Систему уравнений можно записать в матричной форме:
[4 a] [x] [16 - a]
[a 16] [y] = [16 ]

Для начала рассмотрим случай, когда а ≠ 0. В этом случае систему можно представить в виде расширенной матрицы:

| 4 a | 16 - a |
| a 16 | 16 |

Мы можем применить элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду или к улучшенному ступенчатому виду. Затем можно будет определить, сколько свободных переменных будет в системе и соответственно сколько решений будет иметь система.

Рассмотрим оба случая, когда матрица находится в ступенчатом или улучшенном ступенчатом виде.

Сначала проделаем элементарные преобразования строк над матрицей:
1. Если a ≠ 4:
Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на a/4:
| 1 a/4- 1 | 1 - a/4 |
| 0 9 - a^2/4 | 9 - a^2/4 |

Делаем замену второй строки на:

| 1 a/4- 1 | 1 |
| 0 1 | (9 - a^2)/ (9 - a^2/4) |

Делаем замену первой строки на:

| 1 0 | (a^2 - 4a + 4)/(9-a^2/4) |
| 0 1 | (9 - a^2)/ (9 - a^2/4) |

Заметим, что:

(a^2 - 4a + 4)/(9-a^2/4) = ( (a - 2)^2) / ( (3 - a/2)(3 + a/2) )
(9 - a^2)/ (9 - a^2/4) = ( (3 - a/2)(3 + a/2) ) / ( (3 - a/2)(3 + a/2) )

Теперь, если a ≠ 2 и a ≠ -2, то получаем ступенчатый вид:

| 1 0 | (a - 2)^2 / (3 - a/2)(3 + a/2) |
| 0 1 | (3 - a/2)(3 + a/2) / (3 - a/2)(3 + a/2) |

В данном случае система имеет единственное решение.

2. Когда а = 2 или а = -2:

Подставляем значения в матрицу:

a = 2:
| 1 0 | 1 |
| 0 1 | 1 |

a = -2:
| 1 0 | 16 |
| 0 1 | 1 |

В обоих случаях система имеет также единственное решение.

Теперь рассмотрим случай, когда а = 0. В этом случае система принимает вид:

| 4 0 | 16 |
| 0 16| 16 |

Матрица находится в улучшенном ступенчатом виде и имеет две свободные переменные.

Система имеет бесконечное количество решений.

Итак, в зависимости от параметра а, система уравнений:
4x+ay=16-a;
ax+16y=16

может иметь единственное решение, бесконечное количество решений или не иметь решений. В частности, если а ≠ 0 и а ≠ 2 и а ≠ -2, система имеет единственное решение. Если а = 2 или а = -2, система также имеет единственное решение. Если а = 0, система имеет бесконечное количество решений.