с уравнением
y'=2x(x^2+y)

Раскрыли скобки:

y' = 2xy + 2x³

y' - 2xy = 2x³ (*) - линейное (неоднородное) дифференциальное уравнение 1-го порядка, соответствует виду:

y' + P(x)·y = Q(x)

В нашем случае P(x) = -2x; Q(x) = 2x³

Решение ищем в виде y = u(x)·v(x); y' = u'v + uv' подставляем в (*):

u'v + uv' - 2xuv = 2x³

u'v + u(v' - 2xv) = 2x³ (**)

Приравниваем выражение в скобках нулю (метод решения):

v' - 2xv = 0

dv / dx = 2xv

dv / v = 2xdx

Интегрируем:

ln|v| = x²

Подставляем в (**):

Пусть x² = t

Окончательно: