S(n) – сумма цифр числа n. Найдите n, если S(n) + n = 125

ответ: 121

Объяснение:

Предположим, что число n - двузначное, тогда

max(S(n) +n) наступает когда n = 99

max(S(n) +n) = 18+99 = 117<125

Значит n - трехзначное.

Первый

Заметим, что число n дает тот же остаток от деления на 9, что и сумма его цифр S(n) . Число 125 дает при делении на 9 остаток 8.

n может давать при делении на 9 остатки

p∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}

2*p∈{0,2,4,6,8,10,12,14,16}  из данных чисел только  8 дает при делении на 9 остаток 8, значит p=4

Для чисел от 100 до 125 таких чисел всего 3: 103; 112; 121 .

Подставляя эти числа в n+S(n)  убеждаемся, что подходит только n=121

S(121) +121 = 121 +4 = 125

Второй

n = 100 + 10a + b  , где a∈{0;1;2} , b∈{0,1,2,3...9}

S(n) = 1+a+b

n+S(n) = 101 +11*a +2b = 125

11*a+2*b =24

1) a=0 → 2b=24  → b = 12 >9

2) a=1 → 2b= 24-11 = 13 не делится на 2

3) a=2 → 2b = 24-22=2 →b=1 (подходит)

То есть искомое число 121