Решите в натуральных числах уравнение y2−2xy−2x=22. В качестве ответа введите все возможные значения x.

1   и  9  

Объяснение:

Добрый день, буду рад помочь вам с решением данного уравнения! Для начала давайте преобразуем данное уравнение и попробуем найти значения x.

Исходное уравнение: y^2 - 2xy - 2x = 22

Для начала попробуем привести данное уравнение к квадратному виду. Для этого добавим 2x к обоим частям уравнения:

y^2 - 2xy = 2x + 22

Теперь рассмотрим выражение y^2 - 2xy. Заметим, что оно является квадратным трехчленом, поэтому попробуем привести его к квадрату вычитанием и добавлением соответствующих слагаемых.

Для этого вычтем и добавим (xy)^2 к выражению:

y^2 - 2xy + (xy)^2 - (xy)^2 = 2x + 22

Теперь проведем факторизацию по формуле квадрата суммы:

(y - xy)^2 - (xy)^2 = 2x + 22

Вынесем общий множитель из двух последних слагаемых в выражении:

[(y - xy)^2 - (xy)^2] = 2(x + 11)

Теперь воспользуемся формулой квадрата разности:

[(y - xy) + (xy)][(y - xy) - (xy)] = 2(x + 11)

Отсюда получаем:

(y - xy + xy)(y - xy - xy) = 2(x + 11)

Упростим это выражение:

y(y - 2xy) = 2(x + 11)

Теперь разделим обе части уравнения на y:

y - 2xy = 2(x + 11) / y

Давайте упростим еще немного. Вынесем -2 из первого слагаемого:

y(1 - 2x) = 2(x + 11) / y

Для решения данного уравнения воспользуемся тактикой деления на случаи. Рассмотрим два случая:

Случай 1: y ≠ 0
В этом случае мы можем сократить y с обеих частей уравнения:

1 - 2x = (2(x + 11)) / y

Перемножим обе части уравнения на y:

y - 2xy = 2(x + 11)

Теперь у нас есть уравнение вида y - 2xy = 2(x + 11), которое мы получили на предыдущем шаге. Продолжим решение, рассматривая случай 1.

y - 2xy = 2(x + 11)

Раскроем скобки в выражении 2(x + 11):

y - 2xy = 2x + 22

Перенесем все слагаемые с x в левую часть уравнения, а числовую часть - в правую:

y + 22 = 2xy + 2x

Факторизуем x в правой части выражения:

y + 22 = 2x(y + 1)

Теперь разделим обе части уравнения на (y + 1), предполагая, что y + 1 ≠ 0:

(y + 22) / (y + 1) = 2x

У нас разрешается делить на (y + 1), так как предполагается, что y ≠ -1. После деления мы получим выражение:

(2x = (y + 22) / (y + 1)

Теперь мы можем рассмотреть все возможные значения x в зависимости от значения y. Давайте рассмотрим случаи:

Случай 1: y = 0
Подставим это значение в предыдущее уравнение:

(2x = (0 + 22) / (0 + 1)
2x = 22/1
2x = 22
x = 11

Таким образом, при y = 0 единственным возможным значением x будет 11.