Решите в натуральных числах уравнение .

ответ: Решений  в натуральных числах нет

Объяснение:

Пусть : НОД(x,y)= t

x=a*t

y=b*t

a , b взаимно простые натуральные числа.

a^3*t^3 -4*a*t -b^2*t^2=0

a^3*t^2 -b^2*t -4a=0

Очевидно , что b^2 *t делится на a , но поскольку a и b взаимно простые, то t делится на a.

t=m*a

m- натуральное число

a^5 *m^2 -a*b^2*m -4a=0

a^4 *m^2 -b^2*m -4=0

m*( a^4*m -b^2)=4

То есть : m=1 ; 2 ; 4

1) m=1

a^4 -b^2=4

(a^2 -b)*(a^2 +b)=4

Заметим что :

(a^2 -b ) + (a^2+b)=2a^2 - четно , а значит либо обе скобки четны , либо обе нечетны , но тк правая часть делится на 4 , то обе четны .

То есть :a^2-b=a^2+b=+-2

2a^2=+-4

a^2=2

a= sqrt(2) - нецелое число .

Вывод : m=1 не подходит.

2) m=4

4*a^4 -b^2 =1

(2*a^2 -b)*(2*a^2+b)=1

2a^2-b=2a^2+b=+-1

4*a^2=+-2

a^2= 1/2

a=1/sqrt(2) - нецелое число.

3) Основной случай : m=2

2*a^4 -b^2=2

2*(a^4 -1)=b^2

Рассуждения о полных квадратах тут не совсем работают из за назойливой двойки слева. Чтобы от неё избавится ,применим следующий приём:

b^2 - чётно , а значит b так же чётно , то b^2 делится на 4 , а значит:

a^4 -1 четно , а значит a^4 нечетно.

a=2*k-1 k- натуральное число.

2*( a^2-1)*(a^2+1)=b^2

a^2=4k^2-4k+1

2*(4k^2-4k)*(4k^2-4k+2)=b^2

16 * k *(k-1) * ( 2* k*(k-1) +1)=b^2

b^2 делится на 16 , а значит b делится на 4.

b=4*n n- натуральное число

Так же сделаем замену: k*(k-1)=k^2-k =s - целое неотрицательное число.

s*(2s+1)=n^2 , теперь когда мы избавились от осложняющих ситуацию степеней двоек , можно уже начать рассуждать о взаимной простоте. Заметим , что при k>1

 k^2-2k+1 < k^2-k<k^2

(k-1)^2<k^2-k <k^2

То есть s находится между двумя соседними квадратами , а значит s не является полным квадратом.

s*(2s+1)=n^2

Тогда если s не полный квадрат , то и 2s+1 не полный квадрат. Очевидно , что при s>0  s и 2s+1 взаимно простые. Действительно , если s делится на некоторое простое число p , то 2*s так же делится на p , но тогда 2s+1 не делится на p. Тк s не является полным квадратом , то оно представляется в виде произведений степеней простых чисел , причём хотя бы одно простое число возведено в нечетную степень .Для 2s+1 ситуация аналогична и в ее состав входят простые множители отличные от s. Таким образом s*(2s+1) неизбежно содержит хотя бы два простых числа возведённых в нечетную степень.

Вывод:

s*(2s+1) не является полным квадратом при s>0

Пусть s=0 , но тогда b=0 , то y=0 что не является натуральным числом.

Вывод: уравнение не имеет решений в натуральных числах.

P.S Скажу теперь ,почему нельзя рассуждать про квадраты в выражении: (обязательно кто нибудь спросит)

2*(a^4-1)=b^2

Безусловно и понятно , что a^4 -1 (при a >1) не полный квадрат и казалось бы это значит , что 2*(a^4-1) сразу же не является полным квадратом. Но на самом деле это так сразу далеко не очевидно! Ведь разложение на простые четного числа a^4 -1 ,не являющего квадратом , может содержать нечетную степень двойки , а все остальные степени простых чисел буду четны . В этом смысле все таки остаётся вероятность ,что 2*(a^4-1) может быть полным квадратом. Кому то может показаться ,что простая двойка никак не может осложнить жизнь , но это большое заблуждение!