Решите в целых числах уравнение x*(y+1)^2=243*y. В качестве ответа введите все возможные значения x.

Добрый день! Давайте решим данное уравнение в целых числах.

У нас есть уравнение x * (y + 1)^2 = 243 * y.

Начнем с пошагового решения уравнения:

1. Распишем квадрат (y + 1)^2 как (y + 1) * (y + 1):

x * (y + 1) * (y + 1) = 243 * y.

2. Раскроем скобки:

x * (y^2 + 2y + 1) = 243 * y.

3. Упростим полученное выражение:

xy^2 + 2xy + x = 243y.

4. Перенесем все члены с "y" на одну сторону уравнения:

xy^2 + (2xy - 243)y + x = 0.

5. Посмотрим на данное уравнение. Заметим, что у нас есть квадратное уравнение относительно "y". Поскольку мы ищем целочисленные решения, то воспользуемся целочисленным дискриминантом.

6. Вычислим дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac, где a = x, b = 2xy - 243 и c = x.

Заметим, что a, b и c — целые числа, а дискриминант D должен быть полным квадратом для нахождения целочисленных решений.

7. Раскроем скобки и подставим значения:

D = (2xy - 243)^2 - 4xy^2.

8. Раскроем квадрат на D и упростим:

D = 4x^2y^2 - 972xy + 243^2 - 4xy^2.

9. Обобщим выражение:

D = 4xy(x - y) - 3^5.

10. Посмотрим на полученное выражение. Заметим, что первое слагаемое 4xy (x - y) должно быть кратно 3, чтобы дискриминант был полным квадратом.

11. Рассмотрим два случая:

a) Первое слагаемое 4xy(x - y) равно 0 по модулю 3:
Здесь у нас две возможности:
- Первое слагаемое равно 0 и третье слагаемое (-3^5) равно 0.
Следовательно, получаем систему уравнений:
4xy(x - y) = 0,
-3^5 = 0.
Решая данную систему получим два значения для x: 0 и 243.
- Первое слагаемое равно 0, но третье слагаемое (-3^5) не равно 0.
Это означает, что первое слагаемое должно быть кратно (3^6) для того, чтобы дискриминант был полным квадратом. В этом случае решений нет.

b) Первое слагаемое 4xy(x - y) не равно 0 по модулю 3:
Здесь у нас только одна возможность:
- Первое слагаемое не равно 0, но кратно (3^2) (так как у нас требуется полный квадрат).
Согласно этому условию, решений нет.

12. Итак, мы получаем два возможных значения для x: 0 и 243.

Надеюсь, данное объяснение было для вас понятным. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!