Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме:
(sin^2 x)/4 - (cos^2 x)/4 = -√3/2
Для удобства обозначений, заменим sin^2 x на a и cos^2 x на b:
a/4 - b/4 = -√3/2
Сократим обе части уравнения на 1/4:
a - b = -4√3/2
Чтобы решить это уравнение, воспользуемся тригонометрическими тождествами, а именно формулой синуса двойного угла:
sin 2x = 2sin x cos x
Нам нужно избавиться от a и b, поэтому заменим их с помощью тригонометрических тождеств:
a = sin^2 x
b = cos^2 x
Теперь подставим эти значения в уравнение:
sin^2 x - cos^2 x = -4√3/2
Используем разность квадратов:
(sin x + cos x)(sin x - cos x) = -4√3/2
Заметим, что sin x + cos x = √2 sin (x + π/4). Подставим это представление в уравнение:
√2 sin (x + π/4) (sin x - cos x) = -4√3/2
Сократим обе части на √2:
sin (x + π/4)(sin x - cos x) = -2√3/2
Теперь разделим обе части на sin x - cos x:
sin (x + π/4) = (-2√3/2) / (sin x - cos x)
Теперь применим формулу синуса суммы углов:
sin x cos (π/4) + cos x sin (π/4) = (-2√3/2) / (sin x - cos x)
cos (π/4) = √2/2 и sin (π/4) = √2/2, заменим:
(sin x √2/2 + cos x √2/2) / (sin x - cos x) = -2√3/2
Упростим:
(sin x + cos x) / (sin x - cos x) = -√3
Приведем к общему знаменателю:
[(sin x + cos x)/(sin x - cos x)] * [(sin x + cos x) / (sin x + cos x)] = -√3
(sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x) / (sin^2 x - cos^2 x) = -√3
Теперь заменим тригонометрические функции на их значения:
(1 + 2sin x cos x) / (sin^2 x - cos^2 x) = -√3
sin^2 x - cos^2 x = - (1 - 2sin x cos x) * √3
Используем формулу разности квадратов:
(sin x + cos x)(sin x - cos x) = - (1 - 2sin x cos x) * √3
sin x + cos x = -√3 + 2sin x cos x√3
Теперь выразим sin x + cos x через единичный круг:
sin x = √1 - cos^2 x
cos x = √1 - sin^2 x
(sin x + cos x) = √1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x
Переставим √1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x в начало уравнения:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2sin x cos x√3
Теперь подставим значения sin x и cos x в уравнение:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2(√1 - cos^2 x)(√1 - sin^2 x)√3
Упростим и раскроем скобки:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x)(1 - sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x - sin^2 x + cos^2 x sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x - sin^2 x + cos^2 x sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3 - 2√3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x
Теперь сгруппируем похожие элементы:
√1 - cos^2 x - 2√3 cos^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x + √1 - sin^2 x - 2√3 sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x + √1 - √3 sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 + √1 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 + √1 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
2 + 2 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
4 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Теперь уравнение имеет вид:
4 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = √3
Теперь имеем уравнение:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = √3
Ну и так далее и так далее. Увы, но допустимый для демонстрации средствами текста вариант решения вами предложенного уравнения слишком сложен для выполнения моим алгоритмом машинного обучения.
(sin^2 x)/4 - (cos^2 x)/4 = -√3/2
Для удобства обозначений, заменим sin^2 x на a и cos^2 x на b:
a/4 - b/4 = -√3/2
Сократим обе части уравнения на 1/4:
a - b = -4√3/2
Чтобы решить это уравнение, воспользуемся тригонометрическими тождествами, а именно формулой синуса двойного угла:
sin 2x = 2sin x cos x
Нам нужно избавиться от a и b, поэтому заменим их с помощью тригонометрических тождеств:
a = sin^2 x
b = cos^2 x
Теперь подставим эти значения в уравнение:
sin^2 x - cos^2 x = -4√3/2
Используем разность квадратов:
(sin x + cos x)(sin x - cos x) = -4√3/2
Заметим, что sin x + cos x = √2 sin (x + π/4). Подставим это представление в уравнение:
√2 sin (x + π/4) (sin x - cos x) = -4√3/2
Сократим обе части на √2:
sin (x + π/4)(sin x - cos x) = -2√3/2
Теперь разделим обе части на sin x - cos x:
sin (x + π/4) = (-2√3/2) / (sin x - cos x)
Теперь применим формулу синуса суммы углов:
sin x cos (π/4) + cos x sin (π/4) = (-2√3/2) / (sin x - cos x)
cos (π/4) = √2/2 и sin (π/4) = √2/2, заменим:
(sin x √2/2 + cos x √2/2) / (sin x - cos x) = -2√3/2
Упростим:
(sin x + cos x) / (sin x - cos x) = -√3
Приведем к общему знаменателю:
[(sin x + cos x)/(sin x - cos x)] * [(sin x + cos x) / (sin x + cos x)] = -√3
(sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x) / (sin^2 x - cos^2 x) = -√3
Теперь заменим тригонометрические функции на их значения:
(1 + 2sin x cos x) / (sin^2 x - cos^2 x) = -√3
sin^2 x - cos^2 x = - (1 - 2sin x cos x) * √3
Используем формулу разности квадратов:
(sin x + cos x)(sin x - cos x) = - (1 - 2sin x cos x) * √3
sin x + cos x = -√3 + 2sin x cos x√3
Теперь выразим sin x + cos x через единичный круг:
sin x = √1 - cos^2 x
cos x = √1 - sin^2 x
(sin x + cos x) = √1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x
Переставим √1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x в начало уравнения:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2sin x cos x√3
Теперь подставим значения sin x и cos x в уравнение:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2(√1 - cos^2 x)(√1 - sin^2 x)√3
Упростим и раскроем скобки:
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x)(1 - sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x - sin^2 x + cos^2 x sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3(1 - cos^2 x - sin^2 x + cos^2 x sin^2 x)
√1 - cos^2 x + √1 - sin^2 x = -√3 + 2√3 - 2√3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x
Теперь сгруппируем похожие элементы:
√1 - cos^2 x - 2√3 cos^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x + √1 - sin^2 x - 2√3 sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x + √1 - √3 sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 + √1 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
√1 + √1 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
2 + 2 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
4 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Теперь уравнение имеет вид:
4 - √3 cos^2 x - 2√3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = -√3 + 2√3
Упростим:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = √3
Теперь имеем уравнение:
4 - √3 cos^2 x - √3 sin^2 x + 2√3 cos^2 x sin^2 x = √3
Ну и так далее и так далее. Увы, но допустимый для демонстрации средствами текста вариант решения вами предложенного уравнения слишком сложен для выполнения моим алгоритмом машинного обучения.