1. Алгебра
  2. Решите уравнение: y′-y/x=xe^x,

Решите уравнение: y′-y/x=xe^x, y(1)=e

svatoslavsasko3 svatoslavsasko3    3   31.05.2019 10:20    0

Ответы
ВикторияЛинкольн ВикторияЛинкольн  01.07.2020 21:57

Умножим левую и правую часть уравнения на \mu (x), которое вычисляется таким образом:

\mu(x)=e^\big{\int-\frac{dx}{x}}=e^\big{-\ln x}=e^\big{\ln\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}

Имеем:

\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y}{x^2}=e^x

Заметим, что -\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right), получаем

\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot y=e^x

Воспользуемся тем, что левая часть уравнения - это дифференциал произведения двух функций.

\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)=e^x~~~\Longleftrightarrow~~~ \displaystyle \int\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)dx=\int e^xdx~~~\Longleftrightarrow~~~ \dfrac{y}{x}=e^x+C\\ \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\boldsymbol{ y=xe^x+Cx}}

Нашли общее решение линейного неоднородного уравнения.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия.

e=e+C\\ C=0

Получим частное решение задачи Коши: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boldsymbol{y=xe^x}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
Максиmm Максиmm  06.05.2020 19:19
Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння (a+2)x²+(a+5)x-1=0 має лише один корінь...
птмпль птмпль  06.05.2020 19:00
Решите постановки систему уравненийa){3x+2y=4 {2x-y=5б){2x+3y=23 {y-3x=7в...
лера2083 лера2083  06.05.2020 19:00
2. В урне находится з белых, 2 зелёных и 4 красных шара. Наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным....
Orange717 Orange717  06.05.2020 19:02
До ть рішити!1. С ть вираз: 1) 8х 2 · ху; 2) -3а 2 b · 2(а 5 ) 2 ; 3) 0,5ас · (-4а 3 с) 2 · а 2 с; 4) (х 3 ) 3n · (х 5 х n+1 ) 2 ; 5) 4а(а 2 – 4а + 3); 6) (4ab 2 + 9a 2 )(2b 2 –...
chikurovden chikurovden  06.05.2020 19:02
В одной системе координат постройте графики функций y=x3 и y=8 и найдите координаты их общих точек....
Nastenka335 Nastenka335  06.05.2020 19:01
Площадь треугольника равна 72 см2. Найдите основание треугольника, если высота, проведённая к этому основанию равна 9 см....
slaadkoo slaadkoo  06.05.2020 19:01
Разложите на множители:23. а(х - у)2 + b(x — у).25. (x+y)2 - t(x+y) 3.​...
RstneaLeu RstneaLeu  31.01.2022 00:15
Знайдіть область визначення функції, заданої формулою: a) f(x)=7x³-x ; б) f(x)= 5x x-5/x-3...
нася12342 нася12342  31.01.2022 00:11
Система двух линейных уравнений (распределительный закон умножения)...
avramkata81 avramkata81  31.01.2022 00:09
решить, 1) a+b+c(a+b)2) m-n-p(m-n)3) x+3a(x+y)+y4) x+2a(x-y)-y...

Популярные вопросы