Решите уравнение:
x + sin 3x + |sin 2x| =0
sin2x+2sin x/ 1- cos x= 2( 1+ cos x) i

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Решите уравнение :  

1. sin 3x+ sin x + |sin 2x| =0

2. (sin2x+2sin x) / (1- cos x)= 2( 1+ cos x)

1.   - π/3 +2πn  или - 2π/3 +2πn , где n ∈ ℤ .  

2.  2πk  ,  π/2+2πk   , π +2πn          n ∈ ℤ  .

Объяснение:

* * * sinα+sinβ = 2sin( (α+β)/2)*cos( (α-β)/2)  ,  sin2x=2sinx*cosx   * * *

1.  sin 3x+ sin x + |sin 2x| =0  ⇔  2sin2x*cos x + |sin 2x| =0

a) sin2x < 0    * * * 2sinx*cosx  < 0 * * *

2sin2x*cos x + |sin 2x| =0⇔2sin2x*cos x - sin 2x =0⇔2sin2x(cos x-1/2)=0

cos x - 1/2=0 ⇔cos x= 1/2 ⇒ x = ±π/3 +2πn , n ∈ ℤ .

учитывая sin2x < 0  получается  x =  - π/3 +2πn , n ∈ ℤ .

б)  sin2x  ≥ 0    * * * 2sinx*cosx  ≥ 0 * * *

sin2x*cos x + sin 2x =0⇔2sin2x*cos x + sin 2x =0⇔2sin2x(cos x+1/2)=0

sin2x=0  ⇔ 2x=πn , n ∈ ℤ .  ⇒   x=πn/2, n ∈ ℤ

или

cos x+1/2 = 0 ⇔ сos x= - 1/2   ⇔ x = ±2π/3 +2πn , n ∈ ℤ .

учитывая sin2x ≥ 0  получается  x =  - 2π/3 +2πn , n ∈ ℤ .

2. (sin2x+2sin x) / (1- cos x) = 2( 1+ cos x)    

ОДЗ : 1 - cos x ≠0 ⇔ cos x  ≠ 1 ⇔ x  ≠ 2πn ,  n ∈ ℤ .

2sinx*(1+cos x) / (1- cos x)= 2( 1+ cos x) ⇔

2(1+cos x) *( 1 - sinx /(1- cos x) ) = 0 ⇔

2(1+cos x) *( 1 - cosx -sinx ) / (1- cos x)  = 0

a) 1+ cos x =0  ⇔ cosx = - 1 ⇒ x = π +2πn ,  n ∈ ℤ .

б) 1 - cosx - sinx=0⇔ sinx+cos x=1⇔√2sin(x +π/4)=1⇔sin(x +π/4) =√2/2 ;

* * *   x +π/4 =(-1)ⁿ *π/4 + πn ,  n ∈ ℤ .  * * *

б) x +π/4 =π/4 + 2πk ,  k ∈ ℤ . ⇒ x=2πk , k ∈ ℤ .

или  

б) x +π/4 =(π -π/4) + 2πk  , k ∈ ℤ . ⇒ x=π/2+2πk , k ∈ ℤ