Решите уравнение 9^(x^2-x-5)+6^(x^2-x-4)-180*4^(x^2-x+7)=0 найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку от - корень из 5 до корень из 3.5 в квадратных скобках

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. Для этого введем новую переменную, например, y = x^2 - x - 4. Теперь у нас есть уравнение 9^y + 6^(y+1) - 180 * 4^(y+3) = 0.

Рассмотрим каждый из слагаемых по отдельности:

1) 9^y = (3^2)^y = 3^(2y)

2) 6^(y+1) = (2^3)^(y+1) = 2^(3y+3)

3) 4^(y+3) = (2^2)^(y+3) = 2^(2y+6)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

3^(2y) + 2^(3y+3) - 180 * 2^(2y+6) = 0

Создадим общую основу для всех слагаемых, а именно 2^(3y+3) = (2^3)^y * 2^3 = 8^y * 8 = 8^(y+1) и 2^(2y+6) = (2^2)^y * 2^6 = 4^y * 64 = 64^(y+1). Теперь уравнение примет вид:

3^(2y) + 8^(y+1) - 180 * 64^(y+1) = 0

Перепишем это уравнение в виде:

(3^y)^2 + (2^3)^(y+1) - (2^6)^2 * 180 = 0

Теперь заметим, что (3^y)^2 + (2^3)^(y+1) = [(3^y)^2 + 2^3 * (2^3)^y]. Введем новую переменную z = 3^y и применим факторизацию:

z^2 + 2^3z - 64 * 180 = 0

Вспомним, что в уравнении с положительными степенями могут быть только положительные корни. Дескриминант этого уравнения равен D = 2^6 + 4 * 64 * 180 = 64(1 + 9 * 180). Очевидно, что D > 0, значит у нас есть два корня.

Используя формулу для квадратного уравнения (x = (-b ± √D) / (2a)), получаем:

z_1 = (-2^3 + √(64(1 + 9 * 180))) / 2 = (-8 + 8√(1 + 9 * 180))/2 = -4 + 4√(1 + 9 * 180)
z_2 = (-2^3 - √(64(1 + 9 * 180))) / 2 = (-8 - 8√(1 + 9 * 180))/2 = -4 - 4√(1 + 9 * 180)

Теперь восстановим переменную y:

y_1 = log3(z1)
y_2 = log3(z2)

И, наконец, найдем значения x, подставив y в исходное уравнение и решив его:

x_1 = (1 + √(1 + 4y_1 + 16)) / 2
x_2 = (1 - √(1 + 4y_1 + 16)) / 2
x_3 = (1 + √(1 + 4y_2 + 16)) / 2
x_4 = (1 - √(1 + 4y_2 + 16)) / 2

Теперь остается только подставить значения y_1 и y_2 в эти формулы и вычислить все корни x_1, x_2, x_3 и x_4.