Решите уравнение

2log2^2(cos^2x) + 7log2(cosx)≤1

Давайте решим это уравнение пошагово:

1. Обозначим log2(cosx) как z. Тогда уравнение примет вид: 2log2^2z + 7log2z ≤ 1.

2. Воспользуемся свойствами логарифмов. Заметим, что log2^2z можно записать как (log2z)^2. Также заменим log2z на t. Теперь уравнение выглядит так: 2t^2 + 7t ≤ 1.

3. Приведем уравнение к квадратному виду, чтобы решить его. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: 2t^2 + 7t - 1 ≤ 0.

4. Для решения квадратного уравнения, можно использовать различные методы, например метод дискриминанта или графический метод. Однако, в данном случае мы можем воспользоваться фактом, что коэффициент при t^2 положительный. Также левая часть неравенства ограничена, значит, мы знаем, что дискриминант будет отрицательным.

5. Используя факт ориентации параболы, мы можем сказать, что уравнение имеет решения, когда значения t меньше корней квадратного уравнения.

6. Рассчитаем корни квадратного уравнения. Дискриминант D равен: D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(2)(-1) = 49 + 8 = 57. Значит, корни квадратного уравнения равны: t1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) и t2 = (-b + sqrt(D)) / (2a). Подставляя значения, получаем: t1 = (-7 - sqrt(57)) / (4) и t2 = (-7 + sqrt(57)) / (4).

7. Таким образом, уравнение имеет решения, когда -∞ < t < (-7 - sqrt(57)) / (4) or (-7 + sqrt(57)) / (4) < t < +∞.

8. Нам известно, что z = log2(cosx), а t = log2z. Переходя от переменной t к переменной z, мы можем переписать условия решения уравнения в терминах z: -∞ < log2z < (-7 - sqrt(57)) / (4) or (-7 + sqrt(57)) / (4) < log2z < +∞.

9. Так как z = log2(cosx), то мы можем записать это условие как: -∞ < log2(cosx) < (-7 - sqrt(57)) / (4) or (-7 + sqrt(57)) / (4) < log2(cosx) < +∞.

10. Чтобы найти значения x, нужно рассмотреть области, где значение log2(cosx) удовлетворяет условиям. Мы можем преобразовать это в неравенства: 2^(-∞) < cosx < 2^((-7 - sqrt(57)) / (4)) or 2^((-7 + sqrt(57)) / (4)) < cosx < 2^(+∞).

11. Используя свойства эквивалентности, мы можем записать это в виде: 0 < cosx < 2^((-7 - sqrt(57)) / (4)) or 2^((-7 + sqrt(57)) / (4)) < cosx ≤ 1.

12. Наконец, чтобы найти значения x, нужно применить обратные функции. Мы сможем найти углы x, удовлетворяющие условиям, вычислив обратную функцию косинус: 0 < x < arccos(2^((-7 - sqrt(57)) / (4))) или arccos(2^((-7 + sqrt(57)) / (4))) < x < 2π.

Таким образом, уравнение имеет решения в области, где 0 < x < arccos(2^((-7 - sqrt(57)) / (4))) или arccos(2^((-7 + sqrt(57)) / (4))) < x < 2π.