Решите Определи, при каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения x2+nx+14n−2=0 будет наименьшей.

Добрый день! Давайте решим задачу по нахождению значения параметра n, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2 + nx + 14n - 2 = 0 будет наименьшей.

Для начала, будем находить корни уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = n и c = 14n - 2.

Для нахождения корней, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Когда уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, дискриминант определяется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = n и c = 14n - 2, поэтому
D = n^2 - 4(1)(14n - 2)
D = n^2 - 56n + 8.

Теперь нам нужно определить условия, при которых дискриминант будет положительным или нулевым, чтобы уравнение имело действительные корни.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня.

Подставим наш дискриминант:
n^2 - 56n + 8 > 0.

Теперь перейдем к тому, как найти значения параметра n, при которых выполняется неравенство.

Сначала решим уравнение n^2 - 56n + 8 = 0. Для этого воспользуемся квадратным трехчленом:
n = (-(-56) ± √((-56)^2 - 4*1*8))/(2*1).

n = (56 ± √(3136 - 32))/2.
n = (56 ± √(3104))/2.
n = (56 ± √(32 * 97))/2.
n = (56 ± 4√( 97))/2.
n = 28 ± 2√( 97).

Таким образом, у нас есть два значения параметра n: n1 = 28 - 2√(97) и n2 = 28 + 2√(97).

Теперь проверим, какому из значений параметра n соответствует условие D > 0.

Если D > 0, то у нас есть два корня уравнения, а значит сумма квадратов корней будет наименьшей.

Подставим n1 = 28 - 2√(97) в D = n^2 - 56n + 8:
D1 = (28 - 2√(97))^2 - 56(28 - 2√(97)) + 8.

Подставим n2 = 28 + 2√(97) в D = n^2 - 56n + 8:
D2 = (28 + 2√(97))^2 - 56(28 + 2√(97)) + 8.

Теперь посчитаем значения D1 и D2 и найдем минимальное.

D1 ≈ 106.474,
D2 ≈ -198.474.

У нас получилось, что D2 меньше D1, значит, D > 0 выполняется при n = 28 + 2√(97). Другими словами, прибавить 2√(97) к 28 даст наименьшую сумму квадратов корней для данного уравнения.

Итак, ответ: при n = 28 + 2√(97) сумма квадратов корней уравнения x^2 + nx + 14n - 2 = 0 будет наименьшей.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!