Алгебра: Решите неравенство: (x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)≤ 0

Решите неравенство: (x+1)^2(x+4)^3(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)≤ 0

Ответы

НастяНевьянцева 03.10.2020 04:06

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю. Произведение будет меньше нуля, если нечётное количество множителей будет отрицательным. Множители, возведенные в чётную степень всегда положительны, значит можно составить системы уравнений:
$(x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)\leq0\\
\begin{cases}
x+4\leq0\\
-4x^2-16x-7\geq0
\end{cases} \ \ \ \begin{cases}x+4\geq0\\-4x^2-16x-7\leq0 \end{cases}\\
-4x^2-16x-7=0\\
D=(-16)^2-4*(-4)*(-7)=144\\
x_1=\frac{16+12}{2*(-4)}=-3,5\ \ \ x_2=\frac{16-12}{2*(-4)}=-0,5\\
\begin{cases}
x\leq-4\\
x\in[-3,5;-0,5]
\end{cases} \ \ \ \begin{cases}x\geq-4\\x\in(-\infty;-3,5]\cup[0,5;\infty) \end{cases}\\
x\in[-4;-3,5]\cup[0,5;\infty)$
Найдем решения, при которых произведение обращается в ноль:
$\begin{cases}
x+1=0\\
x+4=0\\
2x+5=0\\
-4x^2-16x-7=0
\end{cases}\\
\\
\begin{cases}
x=-1\\
x=-4\\
x=-2,5\\
x=-0,5; \ \ \ x=-3,5
\end{cases}$
ответ: $x\in[-4;-3,5]\cup[-2,5]\cup[-1]\cup[0,5;\infty)$