Решите неравенства: 2 cos 5t < √2; -√3/2 ≤ cos t < -1/2; |cos t| ≥ √2/2.

Добрый день! Давайте решим по очереди каждое из предложенных неравенств:

1. 2 cos 5t < √2:
Для начала, давайте разделим обе части неравенства на 2:
cos 5t < √2/2.
Теперь возьмем обратный косинус от обеих частей неравенства:
5t < arccos(√2/2).
Так как мы хотим решить это неравенство относительно t, давайте разделим оба неравенства на 5:
t < arccos(√2/2) / 5.

Таким образом, решением данного неравенства является t < arccos(√2/2) / 5.

2. -√3/2 ≤ cos t < -1/2:
Это неравенство включает тригонометрическую функцию cos t, которая определена на интервале [0, 2π]. Давайте изобразим это на координатной плоскости:

|
0 |
----------------|----------------
π/2|
|
|

Диапазон значений cos t лежит между -1 и 1, поэтому мы должны найти значения t, для которых -√3/2 ≤ cos t < -1/2. По графику мы видим, что cos t удовлетворяет условию, когда t лежит между π/3 и 2π/3. Таким образом, решением данного неравенства является π/3 ≤ t < 2π/3.

3. |cos t| ≥ √2/2:
Здесь мы имеем абсолютное значение тригонометрической функции cos t. Поскольку значение cos t может быть положительным или отрицательным, мы должны рассмотреть два случая: cos t ≥ √2/2 и -cos t ≥ √2/2.

а) cos t ≥ √2/2:
Давайте найдем интервалы, в которых cos t удовлетворяет условию. Изобразим это на графике:

|
0 |
----------------|----------------
π/4 |
|
|

Мы видим, что cos t удовлетворяет условию, когда t лежит между 0 и π/4, а также между 7π/4 и 2π. Таким образом, решение для этого случая - это 0 ≤ t ≤ π/4 и 7π/4 ≤ t ≤ 2π.

б) -cos t ≥ √2/2:
Давайте снова найдем интервалы, в которых -cos t удовлетворяет условию. Изобразим это на графике:

|
0 |
----------------|----------------
π |
|
|

Мы видим, что -cos t удовлетворяет условию, когда t лежит между π/4 и π/2, а также между 3π/4 и π. Таким образом, решение для этого случая - это π/4 ≤ t ≤ π/2 и 3π/4 ≤ t ≤ π.

Таким образом, общее решение для данного неравенства - это 0 ≤ t ≤ π/4, 7π/4 ≤ t ≤ 2π, π/4 ≤ t ≤ π/2 и 3π/4 ≤ t ≤ π.

Надеюсь, мой ответ был полезным и понятным для вас! Если у вас все еще есть вопросы, пожалуйста, дайте знать.