Решите , :
logx^4(5x-4) >= log5x-4(5-4/x)​

Чтобы решить данное неравенство, нам нужно воспользоваться свойствами логарифмов и методом замены переменной. Давайте разберемся с каждым шагом подробно.

Шаг 1: Перепишем неравенство с помощью свойств логарифмов.
Исходное неравенство имеет вид: logx^4(5x-4) >= log5x-4(5-4/x).
Применим свойство логарифма: log(a^b) = b * log(a).
Получим: 4 * logx(5x-4) >= (log(5x-4) - log(5-4/x)) * log5.

Шаг 2: Упростим выражение справа от неравенства.
Раскроем логарифмы и применим свойство разности логарифмов: log(a) - log(b) = log(a/b).
Получим: 4 * logx(5x-4) >= log((5x-4) / (5-4/x)) * log5.
Далее, сократим дробь: (5x-4) / (5-4/x) = (5x-4) * (x / (5x-4)) = x.

Шаг 3: Заменим переменную x.
Теперь наше неравенство имеет вид: 4 * logx(5x-4) >= log(x) * log5.

Шаг 4: Применим свойство логарифма log(a^b) = b * log(a) и упростим неравенство.
4 * logx(5x-4) >= log(x) * log5.
Распишем логарифмы по свойству log(a) * log(b) = log(a*b):
4 * logx(5x-4) >= log5 * log(x).
Делаем замену переменных:

Пусть y = logx(5x-4), тогда наше неравенство примет вид: 4y >= log5 * log(x).

Шаг 5: Делаем преобразования для решения неравенства.
Домножим обе части неравенства на log(x), учитывая, что log(x) > 0 для x > 1:
4y * log(x) >= log5 * log(x) * log(x).
Упростим выражение:
4y * log(x) >= log5 * (log(x))^2.

Шаг 6: Полученное неравенство примет вид:
4y >= log5 * (log(x))^2.

Шаг 7: Теперь можно решить это неравенство. У нас получилось квадратное неравенство.

Если мы положим F = 4y и C = log5 * (log(x))^2, то наше неравенство будет выглядеть следующим образом:
F >= C.

Шаг 8: Найдем допустимые значения переменной x.

Для того чтобы значение log(x) было определено и неравнество имело смысл, должны выполняться следующие условия:
1) Знаменатель в логарифме не должен равняться нулю,
то есть (5x-4) ≠ 0 и (5-4/x) ≠ 0.
2) Выражение в аргументе логарифма должно быть положительным,
то есть (5x-4) > 0 и (5-4/x) > 0.

Для (5x-4) ≠ 0 получаем условие x ≠ 4/5.
Для (5-4/x) ≠ 0 получаем условие x ≠ 4.

Для (5x-4) > 0 получаем условие x > 4/5.
Для (5-4/x) > 0 получаем условие x > 4.

3) Квадратный корень (log(x))^2 должен быть определен и неотрицательный:
(log(x))^2 ≥ 0.
(log(x))^2 = 0 при log(x) = 0. То есть x = 1.

Шаг 9: Подставим случаи, при которых неравенство возможно.
Исследование производим в следующих случаях:
a) x > 4/5.
b) 4/5 < x < 4.
c) x > 4.

а) Пусть x > 4/5.
Тогда для x условие (5x-4) > 0 выполнено.
Допустимые значения переменных: x ≠ 4/5, x > 4.
Разделим обе части неравенства на log(x):

4y * log(x) / log(x) ≥ (log5 * (log(x))^2) / log(x).

4y ≥ log5 * log(x).

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x, удовлетворяющих условиям x ≠ 4/5, x > 4.

б) 4/5 < x < 4.
Тогда для x условия (5x-4) > 0 и (5-4/x) > 0 не выполняются.
Допустимые значения переменных: 4/5 < x < 4.
В данном случае неравенство не имеет решений.

в) Пусть x > 4.
Тогда для x условие (5-4/x) > 0 выполнено.
Допустимые значения переменных: x ≠ 4, x > 4.
Разделим обе части неравенства на log(x):

4y * log(x) / log(x) ≥ (log5 * (log(x))^2) / log(x).

4y ≥ log5 * log(x).

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x, удовлетворяющих условиям x ≠ 4, x > 4.

В итоге, решение данного неравенства:
а) x ≠ 4/5, x > 4,
б) 4/5 < x < 4 - нет решений,
в) x ≠ 4, x > 4.

Надеюсь, ответ понятен и полезен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!