решите этот тест, мне нужно его отправить до Найдите стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
f(x)= -2x^2+32; f(x)=x^2-4x; f(x)= -x^3+6x^2; f(x)=2x^3-6x^2-18x+4
2) Найти экстремум функции
f(x)=6x-x^3; f(x)=x^2*l^x
3)Исследовать функцию и построить график
f(x)= -x^3+6х^2+2

Хорошо, давайте решим данный тест.

1) Найдем стационарные точки и промежутки возрастания и убывания для каждой из функций:

a) Функция f(x) = -2x^2 + 32

Для начала, найдем производную этой функции:
f'(x) = -4x

Производная равна 0 только при x = 0. Из этого следует, что у нас есть стационарная точка при x = 0.

Теперь определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого рассмотрим знак производной в интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

- В интервале (-∞, 0), производная f'(x) будет отрицательной, так как -4x меньше 0 при отрицательных значениях x. Значит, функция убывает на этом интервале.
- В интервале (0, +∞), производная f'(x) будет положительной, так как -4x больше 0 при положительных значениях x. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, стационарная точка находится в x = 0, а промежуток возрастания функции - (0, +∞), а промежуток убывания функции - (-∞, 0).

b) Функция f(x) = x^2 - 4x

Найдем производную этой функции:
f'(x) = 2x - 4

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к 0 и решим уравнение:
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

Таким образом, у нас есть стационарная точка при x = 2.

Теперь рассмотрим знак производной:
- При значениях x меньше 2, производная f'(x) будет отрицательной, так как 2x - 4 меньше 0 при отрицательных значениях x. Значит, функция убывает на этом интервале.
- При значениях x больше 2, производная f'(x) будет положительной, так как 2x - 4 больше 0 при положительных значениях x. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, стационарная точка находится в x = 2, а промежуток возрастания функции - (2, +∞), а промежуток убывания функции - (-∞, 2).

c) Функция f(x) = -x^3 + 6x^2

Найдем производную этой функции:
f'(x) = -3x^2 + 12x

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к 0 и решим уравнение:
-3x^2 + 12x = 0
-3x(x - 4) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 0 и x = 4.

Таким образом, у нас есть две стационарные точки: x = 0 и x = 4.

Теперь рассмотрим знак производной.
- При значениях x между 0 и 4, производная f'(x) будет положительной, так как -3x^2 + 12x больше 0 при этих значениях x. Значит, функция возрастает на этом интервале.
- При значениях x меньше 0 и больше 4, производная f'(x) будет отрицательной, так как -3x^2 + 12x меньше 0 при этих значениях x. Значит, функция убывает на этих интервалах.

Таким образом, стационарные точки находятся в x = 0 и x = 4, и промежуток возрастания функции - (0, 4), а промежуток убывания функции - (-∞, 0) и (4, +∞).

d) Функция f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 4

Найдем производную этой функции:
f'(x) = 6x^2 - 12x - 18

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к 0 и решим уравнение:
6x^2 - 12x - 18 = 0

Данное уравнение можно упростить, поделив все коэффициенты на 6:
x^2 - 2x - 3 = 0

Факторизуем это уравнение:
(x - 3)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 3 и x = -1.

Таким образом, у нас есть две стационарные точки: x = 3 и x = -1.

Теперь рассмотрим знак производной.
- При значениях x между -1 и 3, производная f'(x) будет положительной, так как 6x^2 - 12x - 18 больше 0 при этих значениях x. Значит, функция возрастает на этом интервале.
- При значениях x меньше -1 и больше 3, производная f'(x) будет отрицательной, так как 6x^2 - 12x - 18 меньше 0 при этих значениях x. Значит, функция убывает на этих интервалах.

Таким образом, стационарные точки находятся в x = 3 и x = -1, и промежуток возрастания функции - (-1, 3), а промежуток убывания функции - (-∞, -1) и (3, +∞).

2) Теперь давайте найдем экстремумы функций:

a) Функция f(x) = 6x - x^3

Чтобы найти экстремумы функции, найдем производную второго порядка:
f''(x) = -3x^2 + 6

Приравняем ее к 0 и решим уравнение:
-3x^2 + 6 = 0
-3(x^2 - 2) = 0
x^2 - 2 = 0
(x - √2)(x + √2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = √2 и x = -√2.

Теперь определим знак второй производной в окрестности каждой из стационарных точек:
- При x < -√2 и x > √2, вторая производная f''(x) будет отрицательной, так как -3x^2 + 6 меньше 0 при таких значениях x. Значит, у функции будет максимум в этих точках.
- При -√2 < x < √2, вторая производная f''(x) будет положительной, так как -3x^2 + 6 больше 0 при таких значениях x. Значит, у функции будет минимум в этой точке.

Таким образом, функция f(x) = 6x - x^3 имеет максимумы в точках x = √2 и x = -√2, и минимум в точке -√2 < x < √2.

b) Функция f(x) = x^2 * l^x

Чтобы найти экстремумы функции, найдем производную второго порядка:
f''(x) = (l^x) * (x^2 * ln^2(l) + x * (2ln(l) - 1))

Это уравнение нельзя решить аналитически, поэтому в данном случае для нахождения экстремумов нам потребуется графический анализ или численные методы.

3) Теперь перейдем к исследованию функции и построению графика:

Функция f(x) = -x^3 + 6x^2 + 2

a) Для начала, найдем производную этой функции:
f'(x) = -3x^2 + 12x

Производная равна 0 только при x = 0 и x = 4. Из этого следует, что у нас есть стационарные точки при x = 0 и x = 4.

b) Теперь найдем вторую производную:
f''(x) = -6x + 12

Определим знак второй производной в окрестности каждой из стационарных точек:
- При x < 0 и x > 4, вторая производная f''(x) будет отрицательной, так как -6x + 12 меньше 0 при таких значениях x. Значит, у функции будет максимум в этих точках.
- При 0 < x < 4, вторая производная f''(x) будет положительной, так как -6x + 12 больше 0 при таких значениях x. Значит, у функции будет минимум в этой точке.

c) Также определим поведение функции на бесконечностях:
- При x -> -∞ и x -> +∞, функция будет стремиться к -∞.

Теперь можем построить график функции f(x) = -x^3 + 6x^2 + 2, учитывая все найденные результаты.