Решить зависимо от значений а: sin^6(x) + cos^6(x) = a

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства тригонометрических функций и алгебры. Пожалуйста, внимательно следуйте указаниям и пошагово выполняйте действия.

Шаг 1: Перепишем уравнение с использованием формулы синуса и косинуса в степени 4:

(sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = a.

Шаг 2: Применим формулу синуса и косинуса в квадрате к каждому слагаемому:

[(1 - cos^2(x))^3] + [(1 - sin^2(x))^3] = a.

Шаг 3: Раскроем скобки, используя формулу куба суммы:

[1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x)] + [1 - 3sin^2(x) + 3sin^4(x) - sin^6(x)] = a.

Шаг 4: Сгруппируем слагаемые вместе:

2 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x) - 3sin^2(x) + 3sin^4(x) - sin^6(x) = a.

Шаг 5: Обратим внимание, что у нас есть идентичные слагаемые cos^4(x) и sin^4(x), а также идентичные слагаемые cos^6(x) и sin^6(x). Заменим их на переменные:

2 - 3cos^2(x) + 3u^2 - u^3 - 3sin^2(x) + 3u^2 - u^3 = a,

где u = cos^2(x) и u = sin^2(x).

Шаг 6: Сгруппируем слагаемые с переменными вместе:

2 + 6u^2 - 2u^3 - 3cos^2(x) - 3sin^2(x) = a.

Шаг 7: Используем основное тригонометрическое тождество, согласно которому sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2 + 6u^2 - 2u^3 - 3(1) = a,

2 + 6u^2 - 2u^3 - 3 = a.

Шаг 8: Окончательно перепишем уравнение в зависимости от переменной u:

6u^2 - 2u^3 - 1 = a.

Шаг 9: Решим полученное кубическое уравнение относительно u. Для этого можно использовать различные методы, например, метод подбора или метод графиков.

После решения уравнения относительно u, полученные значения можно подставить обратно в уравнение u = cos^2(x) или u = sin^2(x), чтобы найти значения cos^2(x) и sin^2(x) и, таким образом, решить исходное уравнение sin^6(x) + cos^6(x) = a.