решить задачи по теме: теория вероятностей 1. Из карточек разрезной азбуки составлено слово
ПОРТРЕТ. Маленький ребенок перемешал буквы, выбрал
4 из них и сложил слово. Какова вероятность, что это:
а) слово ПОРТ;
б) слово ТОРТ?
2. В канцелярском магазине продаются одинаковые по
виду тетради в клетку, линейку и в специальную линейку
для первоклассников. Продавец наугад достает пять тет9
радей. Какова вероятность, что:
а) три из них в клетку;
б) одна в клетку и две в специальную линейку для
первоклассников?
3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со
сторонами 1 и 2. найти вероятность того, что расстояние от А до
ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3.
4. Для студента второго курса вероятность решить пра%
вильно задачу № 1 из типового расчета равна 0,8, а задачу
№ 2 — 0,7. Какова вероятность, что:
а) студент правильно решит обе задачи;
б) решит неправильно хотя бы одну из задач;
в) решит верно только одну из задач?
5. Охотник может добыть куропатку с вероятностью
0,3, а утку — с вероятностью 0,5. После удачной охоты в
ягдташе у охотника оказались 5 тушек птицы. Какова вероятность, что куропаток больше, чем уток?

Давайте начнем с решения задачи номер 1.

1. Из карточек разрезной азбуки слово "ПОРТРЕТ". Маленький ребенок перемешал буквы, выбрал 4 из них и сложил слово. Нам нужно найти вероятность, что это слово будет либо "ПОРТ" (задача а), либо "ТОРТ" (задача б).

В этой задаче мы имеем дело с размещением букв (порядок имеет значение) и без возвратных выборов (буква, которую мы выбрали, не будет возвращена обратно в набор доступных букв).

а) Слово "ПОРТ" состоит из 4 букв, а всего доступно 7 букв (P, О, Р, Т, Р, Е, Т). Чтобы найти вероятность, нам нужно разделить количество благоприятных исходов (число вариантов выбора слова "ПОРТ") на общее количество возможных исходов (число вариантов выбора 4 букв из 7):

Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (общее количество возможных исходов)
Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (количество благоприятных исходов + количество неблагоприятных исходов)

Количество благоприятных исходов: существует только один вариант выбора букв для слова "ПОРТ" (P, О, Р, Т) и только один вариант их упорядочивания.

Количество возможных исходов: мы выбираем 4 буквы из 7, поэтому это сочетание из 7 по 4.

Таким образом, вероятность выбрать слово "ПОРТ" будет:

Вероятность = 1 / С7^4.

б) Слово "ТОРТ" также состоит из 4 букв, и мы должны использовать то же самое общее количество возможных исходов (четыре буквы выбраны из тех же семи). Однако количество благоприятных исходов будет другим. Теперь у нас есть 2 "Т", поэтому есть несколько вариантов их упорядочения:

Количество благоприятных исходов: 2 варианта выбора буквы "Т" и их упорядочение (они могут находиться как вначале, так и в конце слова).

Таким образом, вероятность выбрать слово "ТОРТ" будет:

Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (количество возможных исходов) = 2 / С7^4.

Теперь перейдем к решению задачи номер 2.

2. В канцелярском магазине продаются одинаковые по виду тетради в клетку, линейку и в специальную линейку для первоклассников. Продавец наугад достает пять тетрадей. Мы должны найти вероятность того, что три из них будут в клетку (задача а), либо одна в клетку и две в специальную линейку для первоклассников (задача б).

а) Чтобы решить эту задачу, мы должны знать, что всего в магазине есть тетрадей трех видов: в клетку, линейку и в специальную линейку для первоклассников. Количество тетрадей каждого вида не указано, поэтому мы предположим, что их количество одинаково.

Количество возможных исходов: мы выбираем 5 тетрадей из неизвестного количества тетрадей каждого вида. Пусть это количество будет обозначено через N.

Количество благоприятных исходов: есть несколько способов выбрать 3 тетради в клетку и 2 тетради в другие типы (линейку и/или специальную линейку для первоклассников). Мы можем использовать сочетание для этого.

Таким образом, вероятность того, что три из пяти тетрадей будут в клетку, будет:

Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (количество возможных исходов)
Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (количество благоприятных исходов + количество неблагоприятных исходов)

Требуется совершить выбор 3 тетрадей в клетку из N десятков (N возможных вариантов), а остальные 2 тетради должны быть любого другого вида (2 возможных варианта, так как каждая из них может быть либо линейкой, либо специальной линейкой для первоклассников). Нам также необходимо учесть возможность, что выбранные вида тетрадей также могут находиться в другом порядке.

Таким образом, вероятность будет:

Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (N десятков * 2 вида тетрадей)
Вероятность = (NС3) * 2 / (NС3 * 2 + NС2 * 1)

б) Чтобы решить эту задачу, мы должны выбрать одну тетрадь в клетку и две тетради в специальную линейку для первоклассников из N десятков (N возможных вариантов), независимо от типа оставшихся тетрадей (линейки или тетради в клетку). Нам также необходимо учесть возможность, что выбранные вида тетрадей также могут находиться в другом порядке.

Таким образом, вероятность будет:

Вероятность = (количество благоприятных исходов) / (N десятков * 2 вида тетрадей)
Вероятность = (NС1) * 2 / (NС1 * 2 + NС4 * 1)

Теперь перейдем к решению задачи номер 3.

3. Случайная точка A случайным образом выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Нам нужно найти вероятность того, что расстояние от A до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3.

Обратите внимание, что расстояние от точки A до ближайшей стороны прямоугольника всегда будет равно расстоянию от A до наиближайшей вершины. Мы можем использовать геометрический подход для решения этой задачи.

Первым шагом является определение области, в которой находятся точки, удовлетворяющие условию задачи. Построим прямоугольник и обозначим его стороны: AB=1, BC=2, CD=1, DA=2.

Далее нам нужно определить, какие точки A удовлетворяют условию задачи. Расстояние от A до ближайшей стороны прямоугольника будет максимальным, если точка A находится на середине диагонали прямоугольника. Диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 будет равна корню из (1^2 + 2^2) = √(1+4) = √5.

Таким образом, все точки, лежащие внутри прямоугольника со сторонами 1 и 2, но на расстоянии от середины диагонали меньше или равном 1/3 корню из 5 (или 2/3 корню из 5), удовлетворяют условию задачи.

Чтобы найти площадь такой области (которая представляет вероятность), мы используем соотношение площадей:

Вероятность = (площадь области, удовлетворяющей условию задачи) / (площадь всего прямоугольника)

Площадь всего прямоугольника равна 1 * 2 = 2.

Рассмотрим область, удовлетворяющую условию задачи. Она имеет форму треугольника, основание которого равно 2, а высота равна 1/3 корню из 5 (или 2/3 корню из 5).

Таким образом, площадь области, удовлетворяющей условию задачи, будет:

Площадь области = (1/2) * (2) * (2/3 корню из 5) = (2/3) корня из 5.

Таким образом, вероятность того, что расстояние от точки A до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3, будет:

Вероятность = площадь области / площадь всего прямоугольника = (2/3) корня из 5 / 2 = (1/3) корня из 5.

Теперь перейдем к решению задачи номер 4.

4. Для студента второго курса вероятность решить правильно задачу № 1 из типового расчета равна 0,8, а задачу № 2 — 0,7. Нам нужно найти вероятность того, что студент решит обе задачи правильно (задача а), либо решит неправильно хотя бы одну из задач (задача б), либо решит верно только одну из задач (задача в).

а) Вероятность решить обе задачи правильно будет произведением вероятностей правильного решения каждой задачи:

Вероятность = Правильность задачи № 1 * Правильность задачи № 2 = 0,8 * 0,7.

б) Вероятность решить неправильно хотя бы одну из задач можно найти, вычтя из единицы вероятность решить обе задачи правильно:

Вероятность = 1 - Вероятность решить обе задачи правильно.

в) Вероятность решить верно только одну из задач можно вычислить как сумму вероятности решить задачу № 1 правильно и задачу № 2 правильно, но при этом не решить обе задачи правильно:

Вероятность = Вероятность решить задачу № 1 правильно * Вероятность решить задачу № 2 неправильно + Вероятность решить задачу № 1 неправильно * Вероятность решить задачу № 2 правильно.

Теперь перейдем к решению последней задачи - задачи номер 5.

5. Охотник может добыть куропатку с вероятностью 0,3, а утку — с вероятностью 0,5. После удачной охоты у охотника оказались 5 тушек птицы. Нам нужно найти вероятность того, что куропаток больше, чем уток.

Для решения этой задачи мы предп