Алгебра: Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

1) нет решений2) 3) , где - целое числоПошаговое объяснение:Здравствуйте!1)Очевидно, что Заметим, что число - простое ( сначала будет считать, что , в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем: ( дает при делении на остаток )Возведем обе части равенства в степень:Поскольку в биноме Ньютона : каждый член, помимо члена , помножен на некоторую натуральную степень числа , то , поскольку - нечетное.Таким образом, дает при делении...

Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

Ответы

alina20021982 15.10.2020 15:58

нет решений

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

$y=3k-1\\x=3k(5k-2)$ , где - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

$x^2 =2003y-1\\$

Очевидно, что $x\neq 0 ; y0$

Заметим, что число 2003 - простое ( сначала будет считать, что , в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

$x^{2002} = 2003k+1$ ( дает при делении на 2003 остаток )

x^2 = 2003y-1

Возведем обе части равенства в 1001 степень:

$(x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\$

Поскольку в биноме Ньютона : $(2003y-1)^{1001}$ каждый член, помимо члена $(-1)^{1001}$ , помножен на некоторую натуральную степень числа 2003 , то $(2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1$ , поскольку 1001 - нечетное.

Таким образом, $x^{2002}$ дает при делении на 2003 остаток или 2002 , то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2^x +1 =3y^2

Очевидно, что $x\geq 0$ ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что $x\geq 2$ , тогда 2^x делится на , а значит 2^x+1 дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и 3y^2 - нечетное, а значит - также нечетное.

y=2k-1 , где целое число

3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3 , где -целое число

Таким образом, 3y^2 дает при делении на остаток , но 2^x+1 дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: $0\leq x\leq 1$

Проверим x=0

$2^0+1=3y^2\\2=3y^2$

Решений в целых числах нет.

Проверим x=1

$2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1$

То есть решение уравнения :

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3x=5y^2+4y-1

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

5y^2+4y-1 = 0

$D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)$