Решить уравнения:

а)√2 cos х +1 = 0; б) 3tg 2х - √3 = 0.

2)Найти корни уравнения sin х/3=1/2
на отрезке [0; 4].

3)Решить уравнения:

а) cos х – cos2 х = 0;

б) 10 cos2х +3cos х=1;

в) 5sin х + cosх = 0.

Добрый день! Давайте по порядку решим каждое уравнение.

а) √2 cos х +1 = 0

1. Вычтем 1 с обеих сторон уравнения:
√2 cos х = -1

2. Разделим обе части уравнения на √2:
cos х = -1/√2

3. Найдем значение угла, для которого косинус равен -1/√2. Косинус -1/√2 соответствует углу -π/4.

4. Найдем все решения уравнения, добавив к найденному значению -π/4 кратное 2π.
Поэтому решениями уравнения будут:
x = -π/4 + 2kπ, где k - целое число.

б) 3tg 2х - √3 = 0

1. Добавим √3 к обеим сторонам уравнения:
3tg 2х = √3

2. Поделим обе части уравнения на 3:
tg 2х = √3/3

3. Найдем значение угла, для которого тангенс равен √3/3. Тангенс √3/3 соответствует углу π/3.

4. Найдем все решения уравнения, добавив к найденному значению π/3 кратное π.
Поэтому решениями уравнения будут:
2x = π/3 + kπ, где k - целое число.
Разделив обе части на 2, получим:
x = π/6 + kπ, где k - целое число.

2) sin х/3 = 1/2 на отрезке [0; 4]

1. Умножим обе части уравнения на 3:
sin х = 3/2

2. Угол, для которого синус равен 3/2, не существует. Таким образом, на отрезке [0; 4] нет решений уравнения sin х/3 = 1/2.

3) а) cos х – cos2 х = 0

1. Раскроем квадрат:
cos х - cos² х = 0

2. Формула косинуса двойного угла:
cos² х = (1 + cos 2x)/2

Подставим это значение:
cos х - (1 + cos 2x)/2 = 0

3. Умножим обе части уравнения на 2:
2cos x - 1 - cos 2x = 0

4. Разложим cos 2x по формуле:
2cos x - 1 - (2cos² x - 1) = 0

Упростим уравнение:
2cos x - 1 - 2cos² x + 1 = 0

Придаем вид квадратного уравнения:
2cos² x - 2cos x = 0

5. Вынесем общий множитель:
2cos x (cos x - 1) = 0

6. Рассмотрим каждый множитель отдельно:
a) cos x = 0
Находим угол, для которого косинус равен 0. Косинус 0 соответствует углу π/2.

б) cos x - 1 = 0
Добавим единицу к обеим сторонам:
cos x = 1
Находим угол, для которого косинус равен 1. Косинус 1 соответствует углу 0.

7. Найдем все решения уравнения, добавив к найденным значениям кратное 2π.
a) x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.
б) x = 0 + 2kπ, где k - целое число.
Все эти значения удовлетворяют уравнению.

3) б) 10 cos²х + 3cos х = 1

1. Приведем уравнение к квадратному виду:
10 cos²х + 3cos х - 1 = 0

2. Обозначим cos х как t и заменим его в уравнении:
10t² + 3t - 1 = 0

3. Решим получившееся квадратное уравнение.
Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac
a = 10, b = 3, c = -1

D = 3² - 4*10*(-1)
= 9 + 40
= 49

Найдем корни квадратного уравнения:
t₁ = (-3 + √49) / 20
= (-3 + 7) / 20
= 4 / 20
= 1 / 5

t₂ = (-3 - √49) / 20
= (-3 - 7) / 20
= -10 / 20
= -1 / 2

4. Найдем обратные косинусы найденных значений для нахождения x:
a) cos x = 1/5
Находим угол, для которого косинус равен 1/5. Используем арккосинус.
cos x = arccos(1/5)

б) cos x = -1/2
Находим угол, для которого косинус равен -1/2. Используем арккосинус.
cos x = arccos(-1/2)

Найденные значения являются решениями уравнения.

в) 5sin х + cos x = 0

1. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
5sin x + cos x = 0

2. Перепишем cos x как sin (π/2 - x):
5sin x + sin (π/2 - x) = 0

3. Используем формулу для суммы синусов:
5sin x + sin (π/2)cos x - cos (π/2)sin x = 0

Учитывая, что sin (π/2) = 1 и cos (π/2) = 0:
5sin x + cos x = 0

4. Перенесем 5sin x на другую сторону уравнения:
cos x = -5sin x

5. Поделим обе части уравнения на cos x:
tan x = -5

6. Найдем угол, для которого тангенс равен -5. Используем арктангенс:
x = arctan(-5)

Найденное значение является решением уравнения.

Я надеюсь, что ответы и пошаговое решение были понятны. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.