Алгебра: Решить уравнение tg2x=-корень из 3 /3

Решить уравнение tg2x=-корень из 3 /3

Ответы

Некитсоловей 14.07.2020 18:26

$tg2x=- \frac{ \sqrt{3} }{3}

$

$tg2x= -\frac{1}{ \sqrt{3} } 

$

$2x=arctg(- \frac{1}{ \sqrt{3} } )+ \pi n,n

$ ∈Z

$2x=- \frac{ \pi }{6} + \pi n,n$ ∈Z

$x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi n}{2},n$ ∈Z

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

stefanikolaeva 25.01.2024 15:48

Для начала давайте перейдем к решению данного уравнения.

У нас есть уравнение tg2x = -корень из 3 / 3. Изначально вам нужно понять, как избавиться от тангенса и найти неизвестную переменную x.

Шаг 1: Получение аргумента тангенса
Используя тригонометрическое соотношение tg(x) = sin(x) / cos(x), мы можем записать наше уравнение в виде sin(2x) / cos(2x) = -корень из 3 / 3.

Шаг 2: Применяем формулу двойного угла
Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Заменим sin(2x) и cos(2x) в уравнении:

2sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = -корень из 3 / 3.

Шаг 3: Приводим уравнение к общему знаменателю
Умножим обе части уравнения на (cos^2(x) - sin^2(x)), чтобы избавиться от знаменателя:

2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x) - sin^2(x)).

Раскроем скобки:

2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x)) + (корень из 3 / 3)(sin^2(x)).

Шаг 4: Упрощаем уравнение
Перепишем уравнение, используя тригонометрическую тождественную функцию sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x)) + (корень из 3 / 3)(1 - cos^2(x)).

Получим:

2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x)) + (корень из 3 / 3) - (корень из 3 / 3)(cos^2(x)).

Соберем слагаемые:

2sin(x)cos(x) = (корень из 3 / 3) - (корень из 3 / 3)(cos^2(x)).

Шаг 5: Сокращаем

Сократим (корень из 3 / 3) из каждой части уравнения:

2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3) = 1 - cos^2(x).

Перевернем делитель и умножим:

(2sin(x)cos(x))(3 / корень из 3) = 1 - cos^2(x).

Умножим (2sin(x)cos(x))(3 / корень из 3):

6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 1 - cos^2(x).

Шаг 6: Приводим к квадратному уравнению

Перепишем наше уравнение в форме квадратного уравнения:

1 - cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 0.

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение
Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной cos(x). Решим его с помощью стандартной процедуры нахождения корней:

1 - cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 0.

Перепишем в другом виде:

cos^2(x) + 6sin(x)cos(x) / корень из 3 - 1 = 0.

Перепишем 6sin(x)cos(x) / корень из 3 в виде 2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3), чтобы сделать выражение более читаемым:

cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3) - 1 = 0.

Шаг 8: Решаем уравнение

Мы получили квадратное уравнение, где переменной является cos(x). Решим его с помощью стандартной процедуры:

cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3) - 1 = 0.

Используя формулу для решения квадратного уравнения, мы найдем:

cos(x) = [-2sin(x) ± √(4sin^2(x) - 4(корень из 3 / 3)(1)) ] / 2.

Упростим его:

cos(x) = [-2sin(x) ± √(4sin^2(x) - 4корень из 3 / 3)] / 2.

Сократим 2 в числителе и знаменателе:

cos(x) = [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].

Шаг 9: Используем исходные данные

Мы должны учесть, что tg(x) = sin(x) / cos(x). В исходном уравнении у нас уже есть значение для tg2x, поэтому мы можем найти sin(2x) и cos(2x), зная соотношение tg2x = sin(2x) / cos(2x). Подставим значение -корень из 3 / 3:

sin(2x) / cos(2x) = -корень из 3 / 3.

Упростим его:

sin(2x) = -корень из 3 / 3 * cos(2x).

Теперь мы можем подставить найденное значение для cos(x) в это уравнение:

sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].

Шаг 10: Решаем уравнение

У нас осталось уравнение, где переменной является sin(x). Решим его с помощью стандартной процедуры:

sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].

Используя формулу тригонометрического тангента и разбивая на два уравнения (для каждого решения членов с "+/-"), мы получим:

sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].

Упростим:

sin(2x) = -корень из 3 / 3 * -sin(x) ± (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).

Мы можем переписать это уравнение в двух вариантах:

1) sin(2x) = sin(x) * корень из 3 / 3 + (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).
2) sin(2x) = -sin(x) * корень из 3 / 3 - (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).

Теперь мы можем решить каждое из этих уравнений отдельно, используя свойства тригонометрии и стандартные методы решения тригонометрических уравнений.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра