Алгебра: решить уравнение с заменой неизвестного /8кл

1)Введём замену: .Уравнение становится вот таким:Используем теорему Виета:Получили два значения, которые управляют ОДЗ переменной t. Выполняем обратную замену:Уравнение имеет 4 решения.ответ: .2)Сразу установим, что , поскольку тогда знаменатель обратится в 0.Вводим замену: .Уравнение принимает вид:Теперь выполняем обратную замену:Решим каждое уравнение отдельно. Начнём с верхнего:И теперь решим нижнее:ответ: ....

решить уравнение с заменой неизвестного /8кл

Ответы

Алена11д1 22.01.2022 19:50

$\left(x^2-7\right)^2 - 6\left(x^2-7\right) - 16 = 0$

Введём замену: $x^2 - 7 = t\,,\ t\geqslant-7$ .

Уравнение становится вот таким:

t^2 - 6t - 16 = 0

Используем теорему Виета:

$\begin{equation*}
\begin{cases}
t_1t_2 = -16
\\
t_1 + t_2 = 6
\end{cases}
\end{equation*}\ \ \ \ \ \ \ \ \Bigg| t = -2;\ t = 8$

Получили два значения, которые управляют ОДЗ переменной t. Выполняем обратную замену:

$\left[
\begin{gathered}
x^2 - 7 = -2
\\
x^2 - 7 = 8
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
x^2 = 5
\\
x^2 = 15
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
x = \sqrt{5}
\\
x = -\sqrt{5}
\\
x = \sqrt{15}
\\
x = -\sqrt{15}\end{gathered}$

Уравнение имеет 4 решения.

ответ: $-\sqrt{15}\,;\ -\sqrt{5}\,;\ \sqrt{5}\,;\ \sqrt{15}$ .

$5\cdot\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right)^2 + 2\cdot \dfrac{x+3}{x+1} - 3 = 0$

Сразу установим, что $\boldsymbol{x\neq -1}$ , поскольку тогда знаменатель обратится в 0.

Вводим замену: $\dfrac{x+3}{x+1} = t\,,\ t\in\mathbb{R}$ .

Уравнение принимает вид:

$5t^2 + 2t - 3 = 0\\
\\
D = b^2 - 4ac = 4 + 60 = 64\\
\\
t_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2 + 8}{10} = \dfrac{6}{10}\\
\\
\\
t_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2-8}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1$

Теперь выполняем обратную замену:

$\left[
\begin{gathered}
\dfrac{x+3}{x+1} = \dfrac{3}{5}
\\
\\
\dfrac{x+3}{x+1} = -1
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
5\left(x+3\right) = 3\left(x+1\right)
\\
\\
x+3 = -\left(x+1)
\end{gathered}$