Решить уравнение p.s. - [] - не модуль. тема: целые числа части

33zet33 33zet33    3   24.06.2019 15:20    1

Ответы
NataNati NataNati  02.10.2020 10:21
[tg x]\cdot \sqrt{3-tg^2x} =tg x

Область допустимих значений уравнения определяем по условию:
- \sqrt{3} \leq tg x \leq \sqrt{3}. Поэтому [tg x] может имееть значение только при  -1; 0; 1. Итак, имеем 4 систем уравнений
\left \{ {{[tgx]=-2} \atop { \sqrt{3-tg^2x}=- \frac{1}{2}tg x, }} \right. или \left \{ {{\sqrt{3-tg^2x}=-tg x} \atop {[tgx]=-1}} \right. или \left \{ {{[tg x]=0} \atop {tg x=0}} \right.
               или \left \{ {{[tg x]=1} \atop {\sqrt{3-tg^2x}=tg x}} \right.
Упростим и получим такие уравнения
\left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x< -1} \atop {tg x=- \sqrt{ \frac{12}{5} } }} \right. или \left \{ {{-1 \leq tg x< 0} \atop {tg x=-\sqrt{ \frac{3}{2} } }} \right. или tg x=0
                      или \left \{ {{1 \leq tg x
Подробное решение каждой системы:
\left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x
Возведем оба части до квадрата
\sqrt{3-tg^2x} =( \frac{1}{2} tg x)^2 \\ 3-tg^2x= \frac{1}{4} tg^2x|\cdot 4 \\ 12-4tg^2x=tg^2x \\ tg^2x= \frac{12}{5} \\ tg x=\pm \sqrt{\frac{12}{5} }
Корнем этого уравнени будет только -\sqrt{\frac{12}{5} }, а корень x=\sqrt{\frac{12}{5} } не пренадлежит промежутку [-√3;-1)

\left \{ {{-1 \leq tg x
Возведем оба части до квадрата
3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm \sqrt{ \frac{3}{2} }
\pm\sqrt{\frac{3}{2}} ∉ [-1;0)

tg x=0 \\ x=\pi n,n \in Z

\left \{ {{1 \leq tg x
Возведем оба части до квадрата
(\sqrt{3-tg^2x})^2=tg^2x \\ 3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}
решением этого уравнения будет корень x =\sqrt{\frac{3}{2}}
Корни уравнения
x_1=-arctg\sqrt{ \frac{12}{5} } +\pi n.n \in Z \\ x_2=\pi k, k \in Z \\ x_3=arctg\sqrt{ \frac{3}{2} } +\pi m.m \in Z
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
MarinaDonut648 MarinaDonut648  02.10.2020 10:21
Смотреть во вложении
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра