Решить уравнение 2) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ и ]

Ниже↓

Объяснение:

Числитель 2sin²x+2sinx*cos2x-1=

=2sin²x+2sinx*(cos²x-sin²x)-(sin²x+cos²x)=

=sin²x- cos²x +2sinx*(cos²x-sin²x)=

=(sin²x- cos²x) -2sinx*(sin²x-cos²x)=

=(sin²x- cos²x)(1 -2sinx)= -( cos²x- sin²x)(1 -2sinx)=-cos2x(1 -2sinx). {-cos2x(1 -2sinx)=0

{cosx>0

Решим первое -cos2x(1 -2sinx)=0

1) cos2x=0, 2х=  , х=  , m∈Z

2) 1 -2sinx=0 ,  sinx=1\2 , х=     x=  , n,к∈Z

Решим второе  

cosx>0 , х∈ (-; ).  Выберем из  найденных корней п 1, удовлетворяющие полученному условию. .

Это  ,    , где n, m, k∈ Z

Выберем корни из  [  ;4π  ]

Для х=  нет ,

Для х=  это .

Для х=   нет.

2sin²x+2sinxcos2x-1)/(√cosx)=(2sin²x+2sinxcos2x-1)/(√cosx)=

(2sinxcos2x-cos2x)/(√cosx)=cos2x(2sinx-1)/(√cosx)

ОДЗ : cosx>0;х∈(-π/2+2πm; π/2+2πm); m∈Z;

cos2x=0; х=π/4+πn/2; n∈Z;

sinx=1/2; х=(-1)ⁿπ/6+πк; n∈Z; его лучше расписать для четного и нечетного к. Если к четное , то к=2t;  х=π/6+2πt ; t∈Z;

Если к нечетное , то к=2t + 1;  х=5π/6+2πt ; t∈Z; этот ответ не подходит, т.к. не входит в ОДЗ.

Найдем корни уравнения из указанного отрезка.

а) х=π/4+πn/2; n∈Z;

2.5π≤π/4+πn/2≤4π; 2.5≤1/4+n/2≤4; 2.25≤n/2≤3.75; 4.5≤n/2≤7.5;

n=5;  х=π/4+5π/2=∉ОДЗ,

n=6;  х=π/4+6π/2=13π/4∉ОДЗ,

n=7;  х=π/4+7π/2=15π/4

б) х=π/6+2πt ;

5/2≤1/6+2t≤4

5/2-1/6≤2t≤4-1/6

7/3≤2t≤23/6

7/6≤t≤23/12 нет здесь корней из указанного отрезка.