Решить. найдите точку максимума функции y = ln(x+13) - 2x + 7

Берите производную и приравняйте ее к нулю, найдите значения х:

 

х = 1/(х + 13) - 2 = 0, х = 1/2 - 13 = - 12 1/2

 

Слева от этого значения производная положительна, справа - отрицательна.

Следовательно, в этой точке она меняет свой знак с плюса на минус, и данная точка есть точка максимума данной функции.

Для решения этого задания нам нужно найти точку максимума функции y = ln(x + 13) - 2x + 7.

Шаг 1: Нам нужно найти производную данной функции. Чтобы это сделать, воспользуемся правилом дифференцирования функции ln(x):

dy/dx = 1/(x + 13) - 2

Шаг 2: Решим уравнение dy/dx = 0, чтобы найти критические точки функции. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

1/(x + 13) - 2 = 0

Раскроем скобку:

1 - 2(x + 13) = 0

2x + 26 - 1 = 0

2x + 25 = 0

2x = -25

x = -25/2

Получили критическую точку x = -25/2.

Шаг 3: Проверим, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого воспользуемся второй производной. Возьмем вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = -1/(x + 13)^2

Подставим найденную критическую точку во вторую производную:

d^2y/dx^2 | (x = -25/2) = -1/((-25/2) + 13)^2 = -1/(1/2)^2 = -4

Получили вторую производную равную -4.

Если вторая производная отрицательна (-4 < 0), то данная критическая точка является точкой максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции при x = -25/2 для определения y - координаты точки максимума. Подставим найденное значение x в исходную функцию:

y = ln((-25/2) + 13) - 2(-25/2) + 7

Выполним арифметические операции:

y = ln(1/2) + 25 + 7

Так как ln(1) = 0, то ln(1/2) = -ln(2), поэтому:

y = -ln(2) + 25 + 7

Получили значение y при x = -25/2.

Таким образом, точка максимума функции y = ln(x + 13) - 2x + 7 имеет координаты (-25/2, -ln(2) + 32).

Важно отметить, что данный ответ предоставлен в подробной и пошаговой форме, чтобы школьник мог легко следовать решению и понять каждый шаг. Пожалуйста, дайте знать, если есть еще какие-либо вопросы.