решить Кидаю 35 Б.

Выполнить следующие задания.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми y=-4x,x=-3,x=-1 и осью абсцисс.

2. Найти площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми . 2x-y+3=0 и x=4

3. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ox трапеции, образованной прямыми y=0,5x,x=4,x=6 и осью абсцисс.

4. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Oy трапеции, образованной прямыми y=3x,y=2,y=4 и осью абсцисс.

Здравствуйте!

Давайте по очереди решим каждое задание.

Задание 1:
Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной прямыми y=-4x, x=-3, x=-1 и осью абсцисс.

Первым шагом нарисуем графики данных прямых:

1) y = -4x:
Для этого выберем точку x=0 и построим график. У нас получается (0,0) точка, поэтому проведем прямую вниз слева.

2) x = -3:
Эта прямая является вертикальной линией, проходящей через точку x=-3. Продолжим прямую вниз и вверх.

3) x = -1:
Точно так же, как и с предыдущей прямой, проведем прямую через точку x=-1.

Теперь, когда у нас есть все необходимые прямые, остается найти точки пересечения для определения границ фигуры:

- Пересечение прямых x = -3 и x = -1:
Точка пересечения будет иметь координаты (-2, 0). Это будет левый край фигуры.

- Теперь найдем точку пересечения между прямыми x = -3 и y = -4x:
Подставим значение x=-3 в уравнение y = -4x, получим y = -12. Итак, вторая точка пересечения - (-3, -12).

- Пересечение прямых x = -1 и y = -4x:
Подставим значение x=-1 в уравнение y = -4x, получим y = 4. Третья точка пересечения - (-1, 4).

- Последнее пересечение - точка (0, 0), где осями координат является одна из границ нашей фигуры.

Теперь можем посчитать площадь фигуры. Это можно сделать, разделив ее на две части:

1) Первая часть: треугольник, образованный прямыми y=-4x, x=-3 и осью абсцисс.
Она будет иметь следующие границы: (-2, 0), (-3, -12) и (0, 0).
Площадь треугольника можно найти, используя формулу: S = (1/2) * основание * высота.
Основание треугольника - это горизонтальное расстояние между точками (-2, 0) и (-3, -12), что равно 1.
Высота треугольника - это вертикальное расстояние между точкой (-3, -12) и осью абсцисс, что равно 12.
Подставим значения в формулу: S1 = (1/2) * 1 * 12 = 6.

2) Вторая часть: прямоугольник, образованный прямыми x=-3, x=-1 и осью абсцисс.
Он будет иметь следующие границы: (-2, 0), (-3, 0), (-3, -12) и (-1, 0).
Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу: S = длина * ширина.
Длина прямоугольника - это горизонтальное расстояние между точками (-2, 0) и (-1, 0), что равно 1.
Ширина прямоугольника - это вертикальное расстояние между точками (-3, -12) и 0, что равно 12.
Подставим значения в формулу: S2 = 1 * 12 = 12.

Теперь сложим площади обеих частей, чтобы найти общую площадь фигуры: S = S1 + S2 = 6 + 12 = 18.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной прямыми y=-4x, x=-3, x=-1 и осью абсцисс, равна 18.

Перейдем к заданию 2:

Необходимо найти площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми 2x-y+3=0 и x=4.

Сначала нарисуем графики данных прямых:

1) 2x - y + 3 = 0:
Перепишем уравнение в формат y = mx + c и найдем точку пересечения с осью абсцисс:
y = 2x + 3
Подставим x = 0: y = 2 * 0 + 3 = 3. Итак, первая точка пересечения - (0, 3).
Подставим y = 0: 0 = 2x + 3 => 2x = -3 => x = -3/2. Вторая точка пересечения - (-3/2, 0).
Проведем прямую через эти точки.

2) x = 4:
Это вертикальная прямая, проходящая через точку x = 4. Проведем ее по графику.

Теперь найдем точки пересечения для определения границ фигуры:

- Пересечение прямых x=4 и 2x-y+3=0:
Подставим x=4 в уравнение 2x-y+3=0:
2*4 - y + 3 = 0
8 - y + 3 = 0
-y = -11
y = 11. Значит, первая точка пересечения - (4, 11).

- Точка пересечения между прямыми 2x-y+3=0 и осью абсцисс, то есть значение y равно 0:
2x - 0 + 3 = 0
2x = -3
x = -3/2. Вторая точка пересечения - (-3/2, 0).

- Последняя точка пересечения - (0, 3), где осями координат является одна из границ фигуры.

Теперь можем посчитать площадь фигуры, снова разделив ее на две части:

1) Первая часть: треугольник, образованный прямыми 2x-y+3=0, осью абсцисс и осью ординат.
Границы этого треугольника - (0, 3), (-3/2, 0) и (0, 0) (где ось ординат представляет одну из границ).
Площадь треугольника можно снова посчитать с помощью формулы: S = (1/2) * основание * высота.
Основание треугольника - это горизонтальное расстояние между точками (0, 3) и (-3/2, 0), что равно 3/2.
Высота треугольника - это вертикальное расстояние между точкой (-3/2, 0) и осью абсцисс, что равно 3/2.
Подставим значения в формулу: S1 = (1/2) * (3/2) * (3/2) = 9/8.

2) Вторая часть: прямоугольник, образованный прямыми x = 4, осью абсцисс и осью ординат.
Этот прямоугольник будет иметь следующие границы: (4, 0), (4, 11), (0, 0), (0, 11).
Площадь прямоугольника можно снова посчитать, используя формулу: S = длина * ширина.
Длина прямоугольника - это горизонтальное расстояние между точками (4, 0) и (0, 0), что равно 4.
Ширина прямоугольника - это вертикальное расстояние между точками (0, 11) и (0, 0), что равно 11.
Подставим значения в формулу: S2 = 4 * 11 = 44.

Теперь сложим площади обеих частей, чтобы найти общую площадь фигуры: S = S1 + S2 = 9/8 + 44 = 9/8 + 352/8 = 361/8.

Ответ: площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми 2x-y+3=0 и x=4, равна 361/8.

Перейдем к заданию 3:

Необходимо найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ox трапеции, образованной прямыми y=0,5x, x=4, x=6 и осью абсцисс.

Сначала нарисуем графики данных прямых:

1) y = 0,5x:
Для этого выберем точку x = 0 и построим график. Получим (0, 0), поэтому проведем прямую вверх справа.

2) x = 4:
Это вертикальная прямая, проходящая через точку x = 4.

3) x = 6:
Аналогично предыдущей прямой, это вертикальная прямая, проходящая через точку x = 6.

Таким образом, у нас есть все необходимые прямые. Теперь найдем точки пересечения для определения границ трапеции.

- Пересечение прямых x = 4 и y = 0,5x:
Подставим значение x=4 в уравнение y = 0,5x:
y = 0,5 * 4
y = 2. Точка пересечения будет (4, 2).

- Пересечение прямых x = 6 и y = 0,5x:
Подставим значение x=6 в уравнение y = 0,5x:
y = 0,5 * 6
y = 3. Точка пересечения будет (6, 3).

- Последнее пересечение - точка (0,0), где осью координат является одна из границ нашей трапеции.

Теперь можем посчитать объем тела, полученного от вращения трапеции вокруг оси Ox. Объем можно вычислить с помощью интегральной формулы:

V = ∫[a,b] A(x) dx,

где A(x) - площадь каждого сечения тела, a и b - границы трапеции.

Площадь сечения тела будет состоять из двух частей: внешнего и внутреннего круговых секторов.

1) Внешний круговой сектор:
Радиус этого сектора будет задаваться функцией y = 3. Радиус (r) сектора в каждой точке x будет равен значению функции y = 3.
Зная радиус сектора, мы можем вычислить его площадь по формуле: A1(x) = π * r^2.
Заметим, что r = 3 для любого значения x в интервале [4, 6].
Значит, A1(x) = π * 3^2 = 9π.

2) Внутренний круговой сектор:
Радиус этого сектора будет задаваться функцией y = 0,5x. Радиус (R) от каждой точки x будет равен значению функции y = 0,5x.
Зная радиус сектора, мы можем вычислить его площадь по формуле: A2(x) = π * R^2.
Для каждого значения x в интервале [4, 6], радиус R будет равен 0,5x, так что A2(x) = π * (0,5x)^2 = π * 0,25x^2.

Теперь, когда мы знаем площади отдельных сечений, можем найти объем тела:

V = ∫[4,6] (A1(x) - A2(x)) dx,
V = ∫[4,6] (9π - π * 0,25x^2) dx.

Чтобы проинтегрировать это выражение, возьмем интеграл каждого слагаемого по отдельности:

V = [9π * x - π * (0,25x^3) / 3] |[4,6],
V = (9π * 6 - π * (0,25 * 6^3) / 3) - (9π * 4 - π * (0,25 * 4^3) / 3),
V = (54π - π * (0,25 * 216) / 3) - (36π - π * (0,25 * 64) / 3),
V = (54π - π * 54 / 3) - (36π - π * 16 / 3),
V = (54π - 18π) - (36π - 16π),
V = 36π - 20π,
V = 16π