Решить дифференциальное уравнение xydy=(x^2-y^2)dx

vipdana228 vipdana228    3   02.09.2019 15:30    0

Ответы
rrr46 rrr46  06.10.2020 12:33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка y'=f(x;y) будем называть однородным, если его правая часть, то есть, f(x;y) является однородной функцией нулевого измерения относительно своих х и у, то есть, для нее выполняется тождество:
f(\lambda x,\lambda y)=f(x;y)

xydy=(x^2-y^2)dx|:dx\\ xyy'=x^2-y^2
Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся условием однородности
\lambda x\lambda yy'=(\lambda x)^2-(\lambda y)^2\\ \\ \lambda^2xyy'=\lambda^2(x^2-y^2)\\ \\ xyy'=x^2-y^2

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть y=ux, тогда y'=u'x+u получаем

x*ux*(u'x+u)=x^2-u^2x^2\\ u'xu+u^2=1-u^2\\ u'x= \frac{1-2u^2}{u}
Получили уравнение с разделяющимися переменными

\frac{du}{dx} *x= \frac{1-2u^2}{u}\\ \\ \frac{udu}{1-2u^2} = \frac{dx}{x}

Интегрируя обе части уравнения, получаем

\displaystyle \frac{1}{2} \int\limits \frac{du^2}{1-2u^2} =\int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ - \frac{1}{4} \ln|1-2u^2|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg| \frac{\sqrt[4]{C}}{ \sqrt[4]{1-2u^2} } \bigg|=\ln|x|\\ \\ \\ x^4= \frac{C}{1-2u^2} \\ \\ \\ \frac{C}{x^4} =1-2u^2\\ \\ \\ \frac{C-x^4}{x^4} =-2u^2\\ \\ \\ u=\pm \sqrt{ \frac{x^4-C}{2x^4} }=\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x^2\sqrt{2}}

Обратная замена

\displaystyle \frac{y}{x} =\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x^2\sqrt{2}} \\ \\ \\ y=\pm \frac{\sqrt{x^4-C}}{x\sqrt{2}}

Получили общее решение.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Ansora12 Ansora12  06.10.2020 12:33
(x^2-y^2)\ dx-xy\ dy=0

Домножим уравнение на x:

\frac{1}{2}(x^2-y^2)\ dx^2-\frac{1}{2}x^2\ dy^2=0; \ x^2=p;\ y^2=q; \ 
(p-q)\ dp-p\ dq=0;

p dp - (q\ dp+ p\ dq)=0;\ d(\frac{p^2}{2})-d(pq)=0; d(p^2-2pq)=0; p^2-2pq=C;

x^4-2x^2y^2=C

Если требуется получить y как функцию от x, то 

y^2=\frac{x^4-C}{2x^2}; y=\pm\frac{\sqrt{x^4-C}}{x\sqrt{2}}

Решение x=0 теряется на последнем этапе, поэтому его нужно добавить в ответ.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра