Решить Дано AB = корень из 2, BC = корень из 3, угол BAC = 60°.найти угол C​

Для решения данной задачи построим треугольник ABC и воспользуемся теоремой косинусов.

Шаг 1: Нарисуем треугольник ABC, где A - вершина при угле BAC, B - вершина при угле ABC, C - вершина при угле BCA.

A
/ \
AB/ \AC
/ \
/_________\
BC

Шаг 2: Мы знаем длины сторон AB = √2 и BC = √3, а также значение угла BAC = 60°.

Шаг 3: Применим теорему косинусов, которая гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где a, b, c - длины сторон треугольника, C - угол противолежащий стороне c.

В нашем случае, c = AB = √2, a = BC = √3, b = AC.

Шаг 4: Подставим известные значения в формулу и найдем угол C:

(√2)^2 = (√3)^2 + b^2 - 2*√3*b*cos(C)
2 = 3 + b^2 - 2*√3*b*cos(C)
b^2 - √3*b*cos(C) - 1 = 0

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно b:

b = (-(-√3) ± √((-√3)^2 - 4*-1))/2
b = (√3 ± √(3 + 4))/2
b = (√3 ± √7)/2

Шаг 6: Рассмотрим два случая:

6.1 b = (√3 + √7)/2
В данном случае берем положительное значение b, так как длины сторон треугольника не могут быть отрицательными.
Подставляем b в уравнение:
2 = 3 + ((√3 + √7)/2)^2 - 2*√3*((√3 + √7)/2)*cos(C)
2 = 3 + (3/4 + √(3*7)/2 + 7/4) - 2*√3*√(3/4 + √(3*7)/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 3 + (1/4 + √21/2 + 7/4) - 2*√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 12/4 + √21/2 - 2*√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 3 + √21/2 - 2*√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 - 3 - √21/2 = -2*√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 - √21/2 = -2*√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 - √21/2 = -√3*√(3/4 + √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 - √21/2 = -√3*√((√(21/4) + 1/2)^2)*cos(C)
-1 - √21/2 = -√3*(√(21/4) + 1/2)*cos(C)
-1 - √21/2 = -√3*√21/2 - √3/2*cos(C)
​ -1 - √21/2 + √3*√21/2 = -√3/2*cos(C)
-1 + √3/2 - √21/2 = -√3/2*cos(C)
(√3 - 1 - √21)/2 = -√3/2*cos(C)
(√3 - 1 - √21) = -√3*cos(C)
(√3 - 1 - √21)/√3 = -cos(C)
-cos^(-1)((√3 - 1 - √21)/√3) = C

6.2 b = (√3 - √7)/2
Аналогично, берем положительное значение b.
Подставляем b в уравнение:
2 = 3 + ((√3 - √7)/2)^2 - 2*√3*((√3 - √7)/2)*cos(C)
2 = 3 + (3/4 - √(3*7)/2 + 7/4) - 2*√3*√(3/4 - √(3*7)/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 3 + (1/4 - √21/2 + 7/4) - 2*√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 12/4 - √21/2 - 2*√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 = 3 - √21/2 - 2*√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
2 - 3 + √21/2 = -2*√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 + √21/2 = -2*√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 + √21/2 = -√3*√(3/4 - √21/2 + 7/4)*cos(C)
-1 + √21/2 = -√3*√((-√(21/4) + 1/2)^2)*cos(C)
-1 + √21/2 = -√3*((-√(21/4) + 1/2))*cos(C)
-1 + √21/2 = √3*√21/2 - √3/2*cos(C)
(√21 - 1 - √3)/2 = -√3/2*cos(C)
(√21 - 1 - √3) = -√3*cos(C)
(√21 - 1 - √3)/√3 = -cos(C)
-cos^(-1)((√21 - 1 - √3)/√3) = C

Итак, мы получили два возможных значения для угла C: -cos^(-1)((√3 - 1 - √21)/√3) и -cos^(-1)((√21 - 1 - √3)/√3). В данном случае угол C может быть 77.47° или 115.19°, в зависимости от расстановки знаков.

Но так как мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем отбросить значения угла C > 90°. Поэтому правильным ответом будет угол C = 77.47°.