Реши в целых неотрицательных числах уравнение:

x1+1x2+1x3+1x4=116.

ответ: х1=1, х2=1, х3=4, х4=1

Объяснение:

1. Введём обозначение:

R1=1x2+1x3+1x4.

Так как x2, x3, x4≥1, то x2+1x3+1x4>1, отсюда 0<R1<1.

Итак, x1+R1=116, где x1 — натуральное число, а 0<R1<1.2. Выделим целую часть: 116=1+56. Следовательно, x1=1, R1=56.

Покажем, что других значений число x1 принимать не может. В самом деле, пусть существует какой-то x≠1 — натуральное и R такое, что 0<R<1 и 1+56=x+R.

Тогда, если x>1, то x≥2 и x−1=56−R.

Но такое равенство невозможно, поскольку левая часть не меньше 1, а правая часть строго меньше 1. Если же x<1, то 1−x=R−56, и снова левая часть по модулю не меньше 1, а правая строго меньше. Итак, получаем единственный возможный вариант x1=1, R1=56.

3. Из формулы для R1 получаем

1x2+1x3+1x4=56;

x2+1x3+1x4=65.

Снова выделяя целую часть, получаем единственный возможный вариант x2=1 и

1x3+1x4=15.

4. Из последнего равенства получаем

x3+1x4=5.

Число x4 не может быть больше 1, так как в противном случае величина x3+1x4 не будет целым числом. Значит, x4=1 и x3=5−1=4