Реши тригонометрическое уравнение 5cos^2x+6cosx−8=0 .
Корнями уравнения являются:
нет корней
−arccos(−2)+2πn
π−arccos0,8+2πn
x=−arccos0,8+2πn
arccos(−2)+πn
x=arccos0,8+2πn

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

5cos^2x + 6cosx - 8 = 0

Для начала, давайте заменим одно из выражений, чтобы у нас осталось только одно выражение с косинусом:

Пусть cosx = t

Тогда уравнение примет вид:

5t^2 + 6t - 8 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 5, b = 6 и c = -8. Подставим значения:

D = 6^2 - 4 * 5 * (-8)
D = 36 + 160
D = 196

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных корня. Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

t1 = (-6 + √196) / (2 * 5)
t1 = (-6 + 14) / 10
t1 = 8 / 10
t1 = 0.8

t2 = (-6 - √196) / (2 * 5)
t2 = (-6 - 14) / 10
t2 = -20 / 10
t2 = -2

Теперь давайте найдем обратные значения косинуса для каждого корня:

cosx = 0.8
arccos(0.8) ≈ 0.6435

cosx = -2
arccos(-2) - это значение вне диапазона [-1, 1], поэтому данного корня нет.

Теперь мы можем записать корни уравнения:

x = -arccos(0.8) + 2πn

где n - целое число

Теперь давайте проверим другой корень:

cosx = -2

arccos(-2) + πn - также нет корней, так как значения косинуса находятся в диапазоне [-1, 1].

Итак, наше уравнение имеет только один корень:

x = -arccos(0.8) + 2πn

где n - целое число.

Надеюсь, это объяснение понятно и поможет вам понять решение данного тригонометрического уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!