Рішіть рівняння з параметром
√(х+а) = х + 7

Объяснение: ОДЗ:

{х + 7 ≥0, х + а ≥ 0;

{х ≥ -7, х ≥ -а.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 7, то имеем уравнение: √(х + 7) = х + 7. Обе части возведем в квадрат:

Х + 7 = (х + 7)²; (х + 7)(х+6)=0;;

откуда х1 = -7, х2 = -6.

2) если х + 7 > 0 (х > -7, а > 7). Решения найдем, предварительно возведя обе части в квадрат:

(√(х+а) )² = (х + 7)²;

х + а = х² + 14х + 49;

х² + 13х + 49 - а = 0.

Уравнение - квадратное. Ищем дискриминант:

D = 13² - 4(49 - a) = 169 - 196 + 4a = 4a - 27.

Вновь рассматриваем три случая:

1) 4a - 27 < 0; 4a < 27; a < 6,75 - при таких значениях параметра корней нет.

2) 4а - 27 = 0; а = 6,75 - при таком значении параметра корень единственный и он равен х = -13/2 = -6,5.

3) 4а - 27 > 0 (а > 6,75). Тогда имеем два корня:

Х1 = (-13 + √(4а - 27))/2 = -6,5 + √(а - 6,75).

Х2 = (-13 -√(4а - 27) = -6,5 - √(а - 6,75).

Объединяем все полученные нами результаты и записываем ответ.

ОТВЕТ: если а < 6,75, то корней нет; если а = 7, то х1 = -7, х2 = -6; если а = 6,75, то х = -6,5; если а є (6,75; 7)∪(7; + ∞), то х1 = -6,5 + √(а - 6,75), х2 = -6,5 - √(а - 6,75).