Пусть x,y  – натуральные числа. известно, что произведение xy^2=416787525. на какую максимальную степень тройки может делиться x^2+y^2?
ответить

ответ: 6

Объяснение:

Нетрудно убедится , несколько раз  поделив  число  416787525  на   3 , что оно  делится   максимум на  3^9.  А более точно : 3^9 * 11^2 *5^2 *7 -разложение этого числа на простые множители.  Поскольку число 3 является простым , то справедливо что : y^2 =3^(2A) *N^2  ; x= 3^B *M , где

A,B,N,M- натуральные числа (нулевые степени не рассматриваем , поскольку в этом случае сумма квадратов на  3 делится не будет , ведь сумма делящегося и неделящегося на 3 числа не  делится на 3).

Причём N и M не кратны 3.

x^2+y^2 = 3^(2B)*M^2 +3^(2A)*N^2

Очевидно , что максимальная степень тройки на которую может делится это выражение является наименьшее  из чисел 2A  или  2B .

В случае же  когда они равны , это  случай более интересный, его  мы рассмотрим отдельно .

Действительно, пусть к примеру  2B>2A, тогда получим :

x^2+y^2=3^(2A) *(3^(2B-2A)*M^2 +N^2) .  

Поскольку  3^(2B-2A)*M^2 делится на 3, а N^2 не делится, то число в скобках больше не делится на 3 .

В случае же, когда  2A=2B=C ситуация   немного иная .

В  этом   случае имеем

x^2+y^2=3^C *(N^2+M^2)  

Про  выражение   N^2+M^2  так сразу  сказать, на какую степень тройки оно делится не получится .

Но  мы точно  можем сказать , что оно как минимум кратно на 3^C .

Поскольку наше число равно  x*y^2 ,  то 2A+B=9

Рассмотрим все варианты

1) A=1 B=7  - сумма квадратов  делится максимум  на 2 степень

2) A=2 B=5 - сумма квадратов делится максимум на 4 степень

3) A=3 B=3 - сумма квадратов делится как минимум на 6 степень

4) A=4 B=1 - сумма квадратов делится максимум на 2 степень

Очевидно, что нам подходит третий вариант, в  этом случае сумма квадратов делится как минимум на 6 степень.

Осталось, если это возможно подобрать такие N и М, чтобы N^2+M^2 делилось на максимально возможную степень числа 3 .

Имеем N^2 *M = 5^2* 11^2 * 7

Учитывая что  число 7 имеет первую степень и все числа тут простые, то возможно 3 варианта

1) N^2=5^2*11^2 ; M^2=7^2

2) N^2=5^2 ; M^2= 11^4 *7^2

3) N^2=11^2 ; M^2=5^4 * 7^2

Можно конечно  банально посчитать эти огромные числа  и проверить каждый случай, но мы так делать не будем .  

Преобразуем каждое число через остатки от деления на 3

5=3*1+2

7=3*2+1

11= 3*3+2

Рассматриваем каждый вариант

1) N^2+M^2 будет иметь  при  делении на  3 тот  же остаток, что и  число

2^2 * 2^2 +1^2 = 17 - не делится на  3, то есть не подходит

2) 2^2 +2^4 * 1^2 =4+16=20 -не делится на 3, не подходит

3) Абсолютно аналогично случаю.

То  есть не в одном из вариантов  N^2+M^2  не  делится на 3.

Вывод :  x^2+y^2 делится максимум на  6 степень тройки .