Пусть вероятность каждого из событий A и B равна 1/2 . Доказать, что
P(A∪B) = P(A(противоположное) ∩ B(противоположное))

Добрый день! Рассмотрим вопрос, который вы задали.

Нам нужно доказать, что вероятность объединения событий A и B равна вероятности пересечения дополнений событий A и B. Давайте разберемся с этих шаг за шагом:

1. Для начала, давайте определимся, что означает каждое из этих событий:

- Событие A означает наступление определенного события А, например, выигрыш в лотерею.
- Событие B означает наступление определенного события B, например, получение оценки "отлично" на экзамене.

2. Теперь, обратимся к вероятностям этих событий. По условию, вероятность каждого из событий A и B равна 1/2. То есть, P(A) = P(B) = 1/2.

3. Для доказательства равенства P(A∪B) = P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)), нам нужно разобраться с каждой частью.

- A(противоположное) означает событие, которое состоит из всех элементов, не входящих в событие A. Другими словами, это событие описывает все возможные исходы, кроме исходов, где произошло событие A.
- B(противоположное) означает событие, которое состоит из всех элементов, не входящих в событие B. Аналогично, это событие описывает все возможные исходы, кроме исходов, где произошло событие B.

4. Теперь, давайте посмотрим на пересечение этих двух событий: A(противоположное) ∩ B(противоположное). Поскольку события A и B независимы, вероятность их пересечения равна произведению вероятностей каждого события: P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)) = P(A(противоположное)) * P(B(противоположное)).

5. Нам нужно выразить эти вероятности в терминах исходных событий A и B. Для этого, вспомним, что событие A(противоположное) является дополнением события A, и событие B(противоположное) является дополнением события B. То есть, P(A(противоположное)) = 1 - P(A), и P(B(противоположное)) = 1 - P(B).

6. Заменяя эти значения в выражении P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)), получаем: P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)) = (1 - P(A)) * (1 - P(B)).

7. Далее, заменим вероятности P(A) и P(B) их заданными значениями 1/2: P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)) = (1 - 1/2) * (1 - 1/2).

8. Выполним вычисления: P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

9. Теперь, нам осталось доказать, что P(A∪B) также равно 1/4. Для этого, воспользуемся определением объединения двух событий: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

10. Поскольку события A и B независимы, вероятность их пересечения равна произведению вероятностей каждого события: P(A∩B) = P(A) * P(B). Подставляем значения P(A) = 1/2 и P(B) = 1/2 в это выражение: P(A∩B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

11. Теперь, подставляем значения P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 и P(A∩B) = 1/4 в выражение для P(A∪B): P(A∪B) = 1/2 + 1/2 - 1/4.

12. Выполняем вычисления: P(A∪B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 1/4.

Таким образом, мы доказали, что вероятность объединения событий A и B равна вероятности пересечения дополнений событий A и B, то есть P(A∪B) = P(A(противоположное) ∩ B(противоположное)).

Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!