Пусть Р(А)=1/4, Р(В|A)=1/2 и Р(А|B)=1/3. Найти Р(А∩В), Р(В), Р(А∪В).

Добрый день!

Для начала, я объясню, что означает каждый символ в данном вопросе.

1. Р(А) – это вероятность события А.
2. Р(В|A) – это условная вероятность события В при условии, что произошло событие А.
3. Р(А|B) – это условная вероятность события А при условии, что произошло событие В.
4. Р(А∩В) – это вероятность одновременного наступления события А и В.
5. Р(В) – это вероятность события В.
6. Р(А∪В) – это вероятность наступления события А или В.

Теперь давайте пошагово решим каждую часть вопроса.

1. Найдем Р(А∩В). Для этого мы знаем, что Р(А|B) = 1/3. Формула для условной вероятности выглядит следующим образом:

Р(А|B) = Р(А∩В) / Р(В).

Мы знаем, что Р(А∩В) – это та вероятность, которую мы ищем, а Р(В) равна 1/2 (это дано в условии). Подставим известные значения в формулу:

1/3 = Р(А∩В) / 1/2.

Домножим обе части уравнения на 1/2, чтобы избавиться от дробей:

1/3 * 1/2 = Р(А∩В).

Упростим выражение:

1/6 = Р(А∩В).

Таким образом, Р(А∩В) равно 1/6.


2. Теперь найдем Р(В). Мы знаем, что Р(В|А) = 1/2. Формула для условной вероятности выглядит следующим образом:

Р(В|А) = Р(А∩В) / Р(А).

Мы уже знаем, что Р(А∩В) равно 1/6. Подставим известные значения в формулу:

1/2 = 1/6 / 1/4.

Упростим выражение:

1/2 = 1/6 * 4/1.

Помножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

1/2 = 4/6.

Упростим дробь:

1/2 = 2/3.

Таким образом, Р(В) равно 2/3.


3. Наконец, найдем Р(А∪В), то есть вероятность наступления события А или В.

Формула для нахождения вероятности объединения событий выглядит следующим образом:

Р(А∪В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∩В).

Мы уже знаем, что Р(А) равно 1/4, Р(В) равно 2/3, а Р(А∩В) равно 1/6. Подставим известные значения в формулу:

Р(А∪В) = 1/4 + 2/3 - 1/6.

Найдем общий знаменатель:

Р(А∪В) = 3/12 + 8/12 - 2/12.

Сложим дроби:

Р(А∪В) = 9/12.

Упростим дробь:

Р(А∪В) = 3/4.

Таким образом, Р(А∪В) равно 3/4.

Итак, наши окончательные ответы:

Р(А∩В) = 1/6,
Р(В) = 2/3,
Р(А∪В) = 3/4.

Я надеюсь, что мое объяснение понятно и помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь их задавать.