Пусть f(n) есть сумма n членов арифметической прогрессии. показать, что

f(n+3) - 3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами одинакова. Обычно эту разность обозначают буквой d (от английского слова "difference" - разность).

Таким образом, если первый член арифметической прогрессии обозначить как a, то мы можем записать n-й член этой прогрессии как a + (n-1)*d, где n - номер члена прогрессии.

Теперь перейдем к самому уравнению, которое нам дано: f(n+3) - 3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0.

Для начала мы должны понять, что представляют из себя члены арифметической прогрессии f(n+3), f(n+2), f(n+1) и f(n) в этом уравнении.

Мы можем записать f(n+3) как сумму первых (n+3) членов арифметической прогрессии: f(n+3) = (a + (n+3-1)*d) + (a + (n+3-2)*d) + ... + (a + d).

Аналогично, мы можем записать f(n+2) = (a + (n+2-1)*d) + (a + (n+2-2)*d) + ... + (a + d),

f(n+1) = (a + (n+1-1)*d) + (a + (n+1-2)*d) + ... + (a + d),

и f(n) = (a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d).

Теперь подставим значения f(n+3), f(n+2), f(n+1) и f(n) в уравнение и упростим его:

(a + (n+3-1)*d) + (a + (n+3-2)*d) + ... + (a + d) - 3[(a + (n+2-1)*d) + (a + (n+2-2)*d) + ... + (a + d)] + 3[(a + (n+1-1)*d) + (a + (n+1-2)*d) + ... + (a + d)] - [(a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d)] = 0.

Теперь давайте упростим каждую из скобок:

(a + n*d + 2*d) + (a + n*d + d) + ... + (a + 3*d) - 3[(a + n*d + d) + (a + n*d) + ... + (a + d)] + 3[(a + n*d + d) + (a + n*d) + ... + (a + d)] - [(a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d)] = 0.

Теперь давайте соберем все одинаковые элементы вместе:

(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d) + (a + (n+1)*d) + ... + (a + (n+1)*d) + ... + (a + 3*d) - 3[(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d) + (a + n*d) + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d) + ... + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d)] + 3[(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d) + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d) + ... + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d) + (a + (n-1)*d)] - [(a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d)] = 0.

Теперь давайте обратим внимание на скобки, в которых находятся одинаковые элементы:

(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d) - 3[(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d)] + 3[(a + n*d) + (a + n*d) + ... + (a + n*d)] - [(a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d)] + (a + (n+1)*d) + (a + (n+1)*d) + ... + (a + (n+1)*d) - 4(a + (n-1)*d) = 0.

Теперь упростим каждую из скобок:

n(a + n*d) - 3n(a + n*d) + 3n(a + n*d) - [(a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d)] + (n+1)(a + (n+1)*d) - 4(a + (n-1)*d) = 0.

Обратите внимание, что (a + (n-1)*d) + (a + (n-2)*d) + ... + (a + d) является суммой первых n членов арифметической прогрессии, что мы можем обозначить как f(n):

n(a + n*d) - 3n(a + n*d) + 3n(a + n*d) - f(n) + (n+1)(a + (n+1)*d) - 4(a + (n-1)*d) = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть несколько членов, которые содержат арифметическую прогрессию (a + n*d).

Что происходит когда мы объединяем все эти члены вместе? Мы получаем:

n(a + n*d) - 3n(a + n*d) + 3n(a + n*d) + (n+1)(a + (n+1)*d) - 4(a + (n-1)*d) = 0.

Соберем все элементы в одну скобку:

n(a + n*d - 3(a + n*d) + 3(a + n*d)) + (n+1)(a + (n+1)*d) - 4(a + (n-1)*d) = 0.

Теперь раскроем скобки:

n(a + n*d - 3a - 3n*d + 3a + 3n*d) + (n+1)(a + n*a + d) - 4(a + n*d - d) = 0.

Теперь упростим:

n(0) + (n+1)(a + n*a + d) - 4(a - d + n*d) = 0.

(n+1)(a + n*a + d) - 4(a - d + n*d) = 0.

(n+1)(a + n*a + d) - 4a + 4d - 4n*d = 0.

(n+1)a + (n^2 + n)a + nd - 4a + 4d - 4n*d = 0.

(n^2 + n)a + (n+1)a - 4a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n^2 + n - 3n + 1)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n^2 - 2n + 1 + n + 1 - 3n)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

((n-1)^2 + (n-1) - 3(n-1))a + nd + 4d - 4n*d = 0.

((n-1)^2 + (n-1)(1-3))a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)((n-1) + (1-3))a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)(n - 2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

Теперь давайте обратим внимание на первый член в каждой скобке: (n-1) и (n-2). Мы заметим, что они образуют арифметическую прогрессию со значением разности 1.

Таким образом, мы можем записать первый член как (n-1)a и второй член как (n-2)a + a.

(n-1)(n - 2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)(n - 2)a + a(n-2) + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-2)(n-1)a + (n-2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-2+1)(n-1)a + (n-2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)(n-1)a + a + (n-2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)^2a + a + (n-2)a + nd + 4d - 4n*d = 0.

(n-1)^2a + (n-2)a + (d(n-1) - 4nd + 4d) = 0.

(n-1)^2a + (n-2)a + (d(n-1) - 4d(n-1)) = 0.

(n-1)^2a + (n-2)a + (d(n-1) - d(n-1)) = 0.

(n-1)^2a + (n-2)a + 0 = 0.

(n-1)^2a + (n-2)a = 0.

a((n-1)^2 + (n-2)) = 0.

a((n-1)(n-1) + (n-2)) = 0.

a(n^2 - 2n + 1 + n - 2) = 0.

a(n^2 - n - 1) = 0.

Теперь у нас есть уравнение, и мы должны показать, что оно равно нулю. Это уравнение будет равно нулю только в том случае, если a = 0 или n^2 - n - 1 = 0.

Если а = 0, то это означает, что члены арифметической прогрессии все равны нулю. В этом случае, сумма любых n членов будет также равна нулю, и уравнение f(n+3) - 3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0 выполняется.

Если же а ≠ 0, тогда мы должны решить уравнение n^2 - n - 1 = 0. Для этого можно использовать квадратное уравнение или методы факторизации. Решая это уравнение, мы найдем значения n, которые удовлетворяют уравнению: n = (1 ± sqrt(5))/2.

Таким образом, мы показали, что уравнение f(n+3) - 3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0 выполняется для всех значений n, когда а = 0 или n = (1 ± sqrt(5))/2.

Это доказывает исходное утверждение.