Провести полное исследование и построить график y=x-2arctgx

Хорошо, давайте проведем полное исследование функции y=x-2arctan(x).

Шаг 1: Определение области определения функции.
Функция арктангенса arctan(x) имеет область определения (-∞, +∞), поэтому функция y=x-2arctan(x) также будет иметь область определения (-∞, +∞).

Шаг 2: Поиск асимптот.
Для этого найдем предел функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

а) Предел при x → -∞:
lim(x → -∞) arctan(x) = -π/2 (так как arctan(x) стремится к -π/2 при x → -∞)
Таким образом, при x → -∞, y=x-2arctan(x) будет стремиться к -∞.

б) Предел при x → +∞:
lim(x → +∞) arctan(x) = π/2 (так как arctan(x) стремится к π/2 при x → +∞)
Таким образом, при x → +∞, y=x-2arctan(x) будет стремиться к +∞.

Функция имеет вертикальную асимптоту при x = -π/2 и при x = π/2, так как arctan(x) имеет вертикальные асимптоты при x = -π/2 и при x = π/2.

Шаг 3: Определение интервалов возрастания и убывания.
Для этого найдем производную функции и решим неравенство f'(x) > 0:

f'(x) = 1 - 2/(1+x^2)

1 - 2/(1+x^2) > 0

1+x^2 - 2 > 0

x^2 - 1 > 0

(x - 1)(x + 1) > 0

Неравенство выполняется при x < -1 и x > 1.
Таким образом, функция y=x-2arctan(x) возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞) и убывает на интервале (-1, 1).

Шаг 4: Определение экстремумов.
Для этого найдем точки, где производная равна нулю:

1 - 2/(1+x^2) = 0

1+x^2 - 2 = 0

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

x = -1 и x = 1

Таким образом, у функции y=x-2arctan(x) есть две экстремальные точки: (-1, -π/2+1) и (1, π/2-1).

Шаг 5: Определение поведения функции на интервалах между экстремальными точками и касательных на этих точках.
Для этого найдем значение функции на граничных точках этих интервалов и значение касательной в экстремальных точках.

Получим следующие результаты:
y(-∞) = -∞
y(-1) ≈ -4.71
y(1) ≈ -0.71
y(+∞) = +∞

Теперь построим график функции y=x-2arctan(x) с использованием всех полученных данных:
(предлагается отобразить график функции с помощью программы компьютерной графики или с помощью графического калькулятора)

На графике можно увидеть, что функция имеет вертикальные асимптоты при x = -π/2 и при x = π/2, а также она возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞) и убывает на интервале (-1, 1). Функция имеет две экстремальные точки: (-1, -π/2+1) и (1, π/2-1).

Вот как можно провести полное исследование функции y=x-2arctan(x) и построить ее график. Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас.