Произведение шестого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно 4,5 . Найди произведение третьего, седьмого, десятого и четырнадцатого членов этой прогрессии.

20,25

Объяснение:

Добрый день! Конечно, я могу помочь вам с этим вопросом.

Для начала, давайте определим формулу общего члена геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a₁, а знаменатель прогрессии - q. Тогда общий член геометрической прогрессии будет иметь следующий вид:

aₙ = a₁ * q^(n-1),

где aₙ - n-ый член прогрессии, n - номер члена прогрессии.

В данной задаче у нас известно, что произведение шестого и одиннадцатого членов прогрессии составляет 4,5. То есть:

a₆ * a₁₁ = 4,5.

Давайте найдем отношение между этими двумя членами. Зная формулу общего члена прогрессии, мы можем записать:

a₆ = a₁ * q^(6-1) = a₁ * q⁵,
a₁₁ = a₁ * q^(11-1) = a₁ * q¹⁰.

Подставляя эти выражения в уравнение для произведения членов прогрессии, мы получим:

a₁ * q⁵ * a₁ * q¹⁰ = 4,5,
(a₁)² * q¹⁵ = 4,5.

Обратите внимание, что у нас получилось (a₁)², поэтому чтобы найти a₁, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

sqrt((a₁)²) * sqrt(q¹⁵) = sqrt(4,5),
a₁ * q⁷.⁵ = √4,5.

Уравнение становится сложнее, но мы можем разделить его на две части и найти значения отдельно. Рассмотрим первую часть:

a₁ * q⁷.⁵ = √4,5.

Чтобы найти a₁, мы можем разделить обе стороны уравнения на q⁷.⁵:

a₁ * q⁷.⁵ / q⁷.⁵ = √4,5 / q⁷.⁵,
a₁ = √4,5 / q⁷.⁵.

Теперь, зная значение a₁, мы можем найти вторую часть уравнения:

q⁷.⁵ = √4,5 / a₁.

Таким образом, мы находим два значения: a₁ и q⁷.⁵.

Теперь, когда у нас есть a₁ и q⁷.⁵, мы можем использовать их для нахождения произведения третьего, седьмого, десятого и четырнадцатого членов прогрессии. Для этого мы можем использовать формулу общего члена прогрессии:

a₃ = a₁ * q²,
a₇ = a₁ * q⁶,
a₁₀ = a₁ * q⁹,
a₁₄ = a₁ * q¹³.

Подставляя значения a₁ и q⁷.⁵, мы получим:

a₃ = (√4,5 / q⁷.⁵) * q²,
a₇ = (√4,5 / q⁷.⁵) * q⁶,
a₁₀ = (√4,5 / q⁷.⁵) * q⁹,
a₁₄ = (√4,5 / q⁷.⁵) * q¹³.

Итак, произведение третьего, седьмого, десятого и четырнадцатого членов геометрической прогрессии будет равно:

(a₃) * (a₇) * (a₁₀) * (a₁₄) = ((√4,5 / q⁷.⁵) * q²) * ((√4,5 / q⁷.⁵) * q⁶) * ((√4,5 / q⁷.⁵) * q⁹) * ((√4,5 / q⁷.⁵) * q¹³).

Теперь у нас есть конечная формула для вычисления произведения третьего, седьмого, десятого и четырнадцатого членов геометрической прогрессии, используя значение a₁ и q⁷.⁵.

Я надеюсь, что это объяснение было понятным и помогло вам понять, как решить задачу. Если у вас есть еще вопросы, я готов помочь.