Произведение положительных чисел a, b, c, d равно 64. Найдите наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8).

Для решения данной задачи нам понадобится использовать алгебраические методы и свойства множителей.

Дано, что произведение положительных чисел a, b, c, d равно 64:

a * b * c * d = 64

Мы должны найти наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8).

Для начала разложим на множители это выражение:

(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8) = ((a+1) * (2a+b) * (2b+c) * (2c+d)) * (d+8)

Теперь посмотрим на каждое множество скобок внутри данного выражения отдельно.

Первое множество скобок (a+1)(2a+b) содержит два медленно возрастающих множителя. Из этих двух множителей наименьшее значение будет достигаться, когда a равно 1 и b равно 0. Таким образом, минимальное значение этого множества скобок равно:

(1+1)(2*1+0) = 2*2 = 4

Когда мы перемножаем это множество скобок на следующее множество скобок (2b+c), то минимальное значение этого множества будет достигаться, когда b = 0 и c = 2. Таким образом, значение этого множества скобок будет равно:

4 * (2*0+2) = 4 * 2 = 8

После этого мы перемножаем полученное значение на следующее множество скобок (2c+d). Здесь минимальное значение будет достигаться, когда c = 2 и d = 0. Поэтому значение этого множества скобок будет равно:

8 * (2*2+0) = 8 * 4 = 32

И, наконец, мы перемножаем это значение на последнее множество скобок (d+8). Здесь минимальное значение будет достигаться, когда d = 0. Таким образом, значение этого множества скобок будет равно:

32 * (0+8) = 32 * 8 = 256

Итак, наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8) будет равно 256.